Geometría en el espacio: Rectas, planos y ángulos

**a) Calcula el plano perpendicular a la recta $s$ que pasa por el punto $P(1, 0, -5)$.** Para hallar la ecuación de un plano perpendicular a una recta, el vector director de dicha recta será el vector normal del plano que buscamos. Observando las ecuaciones paramétricas de la recta $s$: $$s \equiv \begin{cases} x = 3 - 2\lambda \\ y = -1 + \lambda \\ z = -2 + 2\lambda \end{cases}$$ El vector director $\vec{v_s}$ viene dado por los coeficientes del parámetro $\lambda$: $$\vec{v_s} = (-2, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas de la forma $x = a + d_1\lambda$, el vector director es $\vec{d} = (d_1, d_2, d_3)$.

Como el plano $\pi'$ es perpendicular a $s$, su vector normal $\vec{n_{\pi'}}$ coincide con el vector director de la recta: $$\vec{n_{\pi'}} = \vec{v_s} = (-2, 1, 2)$$ La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo los coeficientes del vector normal, tenemos: $$-2x + y + 2z + D = 0$$

Para hallar $D$, obligamos a que el plano pase por el punto $P(1, 0, -5)$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación anterior: $$-2(1) + 1(0) + 2(-5) + D = 0$$ $$-2 + 0 - 10 + D = 0 \implies D = 12$$ Sustituyendo el valor de $D$ en la ecuación del plano, obtenemos el resultado. ✅ **Resultado a):** $$\boxed{-2x + y + 2z + 12 = 0}$$ (También se puede expresar como $2x - y - 2z - 12 = 0$).

**b) Calcula el seno del ángulo que forma la recta $r$ con el plano $\pi \equiv -2x + y + 2z = 0$.** El seno del ángulo $\theta$ entre una recta y un plano se calcula mediante el producto escalar de su vector director $\vec{v_r}$ y el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$: $$\sin(\theta) = \frac{|\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}|}{\|\vec{v_r}\| \cdot \|\vec{n_\pi}\|}$$ Del enunciado del plano $\pi \equiv -2x + y + 2z = 0$, extraemos su vector normal: $$\vec{n_\pi} = (-2, 1, 2)$$ Calculamos su módulo: $$\|\vec{n_\pi}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para el ángulo entre dos planos o dos rectas usamos el coseno, pero para el ángulo entre **recta y plano** usamos el **seno**.

La recta $r$ está definida como la intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n_1} = (2, -3, 1), \quad \vec{n_2} = (-3, 2, 2)$$ Calculamos el determinante paso a paso: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -3 & 1 \\ -3 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \mathbf{i}(-3\cdot 2 - 1\cdot 2) - \mathbf{j}(2\cdot 2 - 1\cdot (-3)) + \mathbf{k}(2\cdot 2 - (-3)\cdot (-3))$$ $$\vec{v_r} = \mathbf{i}(-6 - 2) - \mathbf{j}(4 + 3) + \mathbf{k}(4 - 9) = (-8, -7, -5)$$ Calculamos el módulo de $\vec{v_r}$: $$\|\vec{v_r}\| = \sqrt{(-8)^2 + (-7)^2 + (-5)^2} = \sqrt{64 + 49 + 25} = \sqrt{138}$$

Aplicamos la fórmula del seno con los datos obtenidos: 1. Producto escalar: $$|\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}| = |(-8)(-2) + (-7)(1) + (-5)(2)| = |16 - 7 - 10| = |-1| = 1$$ 2. Sustitución en la fórmula: $$\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{138} \cdot 3} = \frac{1}{3\sqrt{138}}$$ ✅ **Resultado b):** $$\boxed{\sin(\theta) = \frac{1}{3\sqrt{138}} \approx 0.0284}$$