Álgebra 2021 Andalucia
Sistema de ecuaciones: Producción de envases plásticos
EJERCICIO 6 (2.5 puntos)
En una empresa se fabrican tres tipos de productos plásticos: botellas, garrafas y bidones. Se utiliza como materia prima 10 kg de polietileno cada hora. Se sabe que para fabricar cada botella se necesitan 50 gramos, para cada garrafa 100 gramos y 1 kg para cada bidón.
El gerente también nos dice que se debe producir el doble de botellas que de garrafas. Por último, se sabe que por motivos de capacidad de trabajo, en las máquinas se producen en total 52 productos cada hora.
¿Cuántas botellas, garrafas y bidones se producen cada hora?
Paso 1
Definición de variables y homogeneización de unidades
Para resolver este problema de sistemas de ecuaciones, el primer paso es identificar las incógnitas. Definimos las variables según lo que nos pide la pregunta:
- $x$: número de **botellas** producidas por hora.
- $y$: número de **garrafas** producidas por hora.
- $z$: número de **bidones** producidos por hora.
Antes de plantear las ecuaciones, debemos asegurarnos de que todas las unidades de masa sean las mismas. Convertiremos todo a **gramos** ($g$):
- Materia prima total: $10 \text{ kg} = 10\,000 \text{ g}$.
- Botella: $50 \text{ g}$.
- Garrafa: $100 \text{ g}$.
- Bidón: $1 \text{ kg} = 1\,000 \text{ g}$.
💡 **Tip:** Es fundamental que todas las cantidades en una misma ecuación tengan la misma unidad para que la igualdad sea correcta.
Paso 2
Planteamiento del sistema de ecuaciones
Traducimos las condiciones del enunciado a lenguaje algebraico:
1. **Producción total:** Se producen 52 productos en total:
$$x + y + z = 52$$
2. **Consumo de polietileno:** La suma del material usado por cada envase debe ser igual a los 10,000 g disponibles:
$$50x + 100y + 1000z = 10\,000$$
Simplificamos dividiendo entre 50 para trabajar con números más sencillos:
$$x + 2y + 20z = 200$$
3. **Relación entre productos:** Se debe producir el doble de botellas que de garrafas:
$$x = 2y \implies x - 2y = 0$$
El sistema resultante es:
$$\begin{cases} x + y + z = 52 \\ x + 2y + 20z = 200 \\ x - 2y = 0 \end{cases}$$
Paso 3
Resolución del sistema por sustitución
Dada la estructura del sistema, el método de sustitución es muy eficiente. De la tercera ecuación sabemos que $x = 2y$. Sustituimos este valor en las otras dos:
Sustituyendo en la primera:
$$(2y) + y + z = 52 \implies 3y + z = 52$$
Sustituyendo en la segunda:
$$(2y) + 2y + 20z = 200 \implies 4y + 20z = 200$$
Simplificamos esta última dividiendo entre 4:
$$y + 5z = 50$$
Ahora tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:
$$\begin{cases} 3y + z = 52 \\ y + 5z = 50 \end{cases}$$
💡 **Tip:** En problemas con relaciones directas como $x=2y$, la sustitución suele ser más rápida que aplicar la regla de Cramer o el método de Gauss.
Paso 4
Cálculo de las incógnitas
Despejamos $z$ de la primera ecuación del nuevo sistema:
$$z = 52 - 3y$$
Sustituimos en la segunda:
$$y + 5(52 - 3y) = 50$$
$$y + 260 - 15y = 50$$
$$-14y = 50 - 260$$
$$-14y = -210 \implies y = \frac{-210}{-14} = 15$$
Calculamos ahora $x$ y $z$ usando los valores obtenidos:
- **Para $x$**: $x = 2y = 2(15) = 30$
- **Para $z$**: $z = 52 - 3(15) = 52 - 45 = 7$
Comprobamos que la suma es correcta: $30 + 15 + 7 = 52$ productos.
✅ **Resultado final:**
$$\boxed{\text{Se producen 30 botellas, 15 garrafas y 7 bidones cada hora}}$$