Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Discute el sistema según los valores de $m$. (1.5 puntos)** Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} m & 2 & -1 \\ 5 & -4 & 2 \\ 1 & 3m & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} m & 2 & -1 & 1 \\ 5 & -4 & 2 & 0 \\ 1 & 3m & 0 & m + \frac{2}{5} \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando el rango de ambas matrices según el valor del parámetro $m$.

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & 2 & -1 \\ 5 & -4 & 2 \\ 1 & 3m & 0 \end{vmatrix} = (0 + 4 - 15m) - (4 + 6m^2 + 0)$$ $$|A| = 4 - 15m - 4 - 6m^2 = -6m^2 - 15m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-6m^2 - 15m = 0 \implies -3m(2m + 5) = 0$$ Las soluciones son: $$m_1 = 0, \quad m_2 = -\frac{5}{2} = -2.5$$ 💡 **Tip:** El determinante nos indica cuándo el rango de la matriz es máximo. Si $|A| \neq 0$, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas.

**Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq -2.5$** Si $m$ es distinto de estos valores, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que: - $rank(A) = 3$ - $rank(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que 3 y contiene a $A$) - Número de incógnitas = 3 Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, es decir, tiene una **solución única**.

**Caso 2: $m = 0$** Sustituimos $m = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & -4 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2/5 \end{pmatrix}$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $rank(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 5 & -4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-4) = 4 \neq 0 \implies rank(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando si los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos independientes son cero: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2/5 \end{vmatrix} = \frac{2}{5} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} = \frac{2}{5}(4 - 4) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son nulos (se puede comprobar con el resto, pero al ser las filas 1 y 2 dependientes respecto a las variables, el rango no aumentará si el término independiente mantiene esa relación), concluimos que $rank(A^*) = 2$. Como **$rank(A) = rank(A^*) = 2 \lt 3$**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones.

**Caso 3: $m = -2.5$ (o $m = -5/2$)** Sustituimos $m = -2.5$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} -2.5 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & -4 & 2 & 0 \\ 1 & -7.5 & 0 & -2.1 \end{pmatrix}$$ En la matriz $A$, observamos que la fila 2 es proporcional a la fila 1 ($F_2 = -2F_1$). Por tanto, $rank(A) = 2$. Comprobamos un menor de orden 3 en $A^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ -4 & 2 & 0 \\ -7.5 & 0 & -2.1 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -7.5 & 0 \end{vmatrix} + (-2.1) \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -4 & 2 \end{vmatrix}$$ $$= 1(0 - (-15)) - 2.1(4 - 4) = 15 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo, **$rank(A^*) = 3$**. Al ser **$rank(A) = 2 \neq rank(A^*) = 3$**, el sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resumen discusión:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0, -2.5 \implies \text{SCD} \\ m = 0 \implies \text{SCI} \\ m = -2.5 \implies \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resuelve el sistema para $m = 0$. ¿Hay alguna solución en la que $x = 0$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1 punto)** Para $m=0$, el sistema es: $$\begin{cases} 2y - z = 1 \\ 5x - 4y + 2z = 0 \\ x = \frac{2}{5} \end{cases}$$ De la tercera ecuación obtenemos directamente **$x = \frac{2}{5}$**. Sustituimos $x$ en la segunda ecuación: $$5\left(\frac{2}{5}\right) - 4y + 2z = 0 \implies 2 - 4y + 2z = 0 \implies 1 - 2y + z = 0$$ $$z = 2y - 1$$ Si comprobamos la primera ecuación: $2y - (2y - 1) = 1 \implies 1 = 1$. Es coherente. Parametrizamos con $y = \lambda$: $$\begin{cases} x = 2/5 \\ y = \lambda \\ z = 2\lambda - 1 \end{cases}$$ ✅ **Solución general para $m=0$:** $$\boxed{(x, y, z) = \left(\frac{2}{5}, \lambda, 2\lambda - 1\right), \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

Se nos pregunta si existe alguna solución donde $x = 0$. Analizando la solución obtenida en el paso anterior para $m=0$, observamos que el valor de $x$ está determinado por la tercera ecuación del sistema: $$x = \frac{2}{5}$$ Como $x$ es una constante igual a $2/5$ en todas las infinitas soluciones del sistema cuando $m=0$, es imposible que $x$ tome el valor $0$. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{\text{No existe ninguna solución con } x = 0 \text{ porque } x \text{ debe ser } 2/5}$$ 💡 **Tip:** En un sistema compatible indeterminado, algunas variables pueden ser fijas mientras otras dependen de un parámetro.