Recta tangente a una función definida por una integral

**Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $F$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Para hallar la ecuación de una recta tangente necesitamos un punto $(x_0, y_0)$ y una pendiente $m$. La abscisa es $x_0 = 1$, por lo que debemos calcular la ordenada $y_0 = F(1)$. Sustituimos $x = 1$ en la expresión de la integral: $$F(1) = \int_0^1 (2t + \sqrt{t}) \, dt = \int_0^1 (2t + t^{1/2}) \, dt$$ Calculamos la primitiva de la función: $$\int (2t + t^{1/2}) \, dt = \frac{2t^2}{2} + \frac{t^{1/2+1}}{1/2+1} = t^2 + \frac{t^{3/2}}{3/2} = t^2 + \frac{2}{3}t\sqrt{t}$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** para resolver la integral definida: $$F(1) = \left[ t^2 + \frac{2}{3}t\sqrt{t} \right]_0^1 = \left( 1^2 + \frac{2}{3}(1)\sqrt{1} \right) - (0) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$$ Por tanto, el punto de tangencia es **$(1, 5/3)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar potencias $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ y que $\sqrt{t} = t^{1/2}$. $$\boxed{y_0 = F(1) = \frac{5}{3}}$$

La pendiente de la recta tangente en $x = 1$ viene dada por el valor de la derivada en dicho punto, es decir, $m = F'(1)$. Según el **Teorema Fundamental del Cálculo**, si $F(x) = \int_a^x f(t) \, dt$, entonces $F'(x) = f(x)$. En nuestro caso, $f(t) = 2t + \sqrt{t}$, por lo que la derivada es: $$F'(x) = 2x + \sqrt{x}$$ Calculamos el valor numérico para $x = 1$: $$m = F'(1) = 2(1) + \sqrt{1} = 2 + 1 = 3$$ 💡 **Tip:** El Teorema Fundamental del Cálculo nos permite derivar una función definida por una integral sin necesidad de resolver la integral primero. $$\boxed{m = 3}$$

Una vez tenemos el punto $(x_0, y_0) = (1, 5/3)$ y la pendiente $m = 3$, utilizamos la ecuación punto-pendiente de la recta: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituimos los valores: $$y - \frac{5}{3} = 3(x - 1)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = 3x - 3 + \frac{5}{3}$$ $$y = 3x - \frac{9}{3} + \frac{5}{3}$$ $$y = 3x - \frac{4}{3}$$ También podemos expresarla en su forma general multiplicando todo por 3: $$3y = 9x - 4 \implies 9x - 3y - 4 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 3x - \dfrac{4}{3}}$$