Estudio de monotonía, esbozo de gráfica y cálculo de área

**a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1 punto)** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función, primero calculamos su primera derivada: $$f'(x) = 12x^2 - 4x^3$$ Buscamos los puntos críticos igualando la primera derivada a cero ($f'(x) = 0$): $$12x^2 - 4x^3 = 0 \implies 4x^2(3 - x) = 0$$ De aquí obtenemos dos soluciones: 1. $4x^2 = 0 \implies x = 0$ 2. $3 - x = 0 \implies x = 3$ 💡 **Tip:** Los puntos donde la derivada es cero son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión con tangente horizontal.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x = 0$ y $x = 3$: $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline 4x^2 & + & 0 & + & + & + \\ 3 - x & + & + & + & 0 & - \\ \hline f'(x) & + & 0 & + & 0 & - \end{array} $$ Justificación de los intervalos: - En $(-\infty, 3)$, la derivada $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. - En $(3, +\infty)$, la derivada $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. Aunque en $x=0$ la derivada se anula, la función no cambia de signo (crece antes y después), por lo que se trata de un punto de inflexión de tangente horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Crecimiento: } (-\infty, 3) \quad \text{Decrecimiento: } (3, +\infty)}$$

**b) Esboza la gráfica de $f$ y calcula el área del recinto limitado por dicha gráfica y el eje de abscisas. (1.5 puntos)** Para esbozar la gráfica, identificamos puntos clave: 1. **Cortes con el eje $X$ ($y=0$):** $$4x^3 - x^4 = 0 \implies x^3(4 - x) = 0 \implies x = 0, \; x = 4$$ Los puntos de corte son $(0, 0)$ y $(4, 0)$. 2. **Extremos relativos:** Como vimos en el apartado anterior, en $x = 3$ hay un máximo (pasa de crecer a decrecer). $$f(3) = 4(3)^3 - (3)^4 = 108 - 81 = 27$$ El máximo está en **$(3, 27)$**. 3. **Comportamiento en el infinito:** $$\lim_{x\to \pm \infty} (4x^3 - x^4) = -\infty$$ 💡 **Tip:** Al ser una función polinómica de grado 4 con coeficiente principal negativo, ambos extremos tienden a $-\infty$.

Con los datos anteriores representamos la función. El recinto cuya área debemos calcular está delimitado por la curva y el eje $X$ entre los puntos de corte $x = 0$ y $x = 4$. En este intervalo $[0, 4]$, la función está por encima del eje $X$ ($f(x) \ge 0$).

Calculamos el área mediante la integral definida entre los puntos de corte con el eje de abscisas: $$Área = \int_{0}^{4} (4x^3 - x^4) \, dx$$ Calculamos la primitiva aplicando la regla de la potencia: $$Área = \left[ \frac{4x^4}{4} - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{4} = \left[ x^4 - \frac{x^5}{5} \right]_{0}^{4}$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$Área = \left( 4^4 - \frac{4^5}{5} \right) - \left( 0^4 - \frac{0^5}{5} \right)$$ $$Área = 256 - \frac{1024}{5} = \frac{1280 - 1024}{5} = \frac{256}{5}$$ Operando obtenemos: $$Área = 51.2 \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si la función estuviera por debajo del eje, el resultado de la integral sería negativo y deberíamos tomar el valor absoluto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{Área = \dfrac{256}{5} = 51.2 \text{ unidades cuadradas}}$$