Continuidad con parámetros y recta tangente

**a) Calcula $a$. (1.5 puntos)** El enunciado afirma que la función $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}$. Para que sea continua en todo su dominio, debe serlo especialmente en el punto de salto entre ramas, $x = 0$. Para que $f$ sea continua en $x = 0$, se deben cumplir tres condiciones: 1. Existe $f(0)$. 2. Existen los límites laterales y son iguales: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$. 3. El valor del límite coincide con el valor de la función: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$. Calculamos el valor de la función y el límite por la izquierda usando la primera rama: $$f(0) = (3(0) - 6)e^0 = -6 \cdot 1 = -6.$$ $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (3x - 6)e^x = -6.$$ Por tanto, para que sea continua, necesitamos que: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{36(\operatorname{sen}(x) - ax)}{x^3} = -6.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones definidas a trozos, la continuidad en el punto de división requiere que los límites laterales y la imagen coincidan.

Analizamos el límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{36(\operatorname{sen}(x) - ax)}{x^3}$$ Al evaluar en $x = 0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. Aplicamos la **regla de L'Hôpital**, derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{36(\cos(x) - a)}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{12(\cos(x) - a)}{x^2}$$ Para que este límite pueda ser un número finito (en nuestro caso, $-6$), el numerador debe tender a $0$ cuando $x \to 0$, ya que el denominador tiende a $0$. Si el numerador fuera distinto de cero, el límite sería infinito. $$12(\cos(0) - a) = 0 \implies 1 - a = 0 \implies a = 1.$$ 💡 **Tip:** En límites con parámetros y L'Hôpital, si el denominador sigue siendo 0, el numerador debe ser 0 para evitar que el límite sea infinito.

Sustituimos $a = 1$ y terminamos de calcular el límite para comprobar que efectivamente da $-6$: $$\lim_{x \to 0} \frac{12(\cos(x) - 1)}{x^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Aplicamos L'Hôpital de nuevo: $$\lim_{x \to 0} \frac{12(-\operatorname{sen}(x))}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-6\operatorname{sen}(x)}{x}$$ Como $\lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} = 1$ (o aplicando L'Hôpital una vez más): $$\lim_{x \to 0} \frac{-6\cos(x)}{1} = -6 \cdot 1 = -6.$$ Como el límite coincide con $f(0)$, el valor hallado es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = -1$. (1 punto)** Como $x = -1 \lt 0$, trabajamos con la primera rama de la función: $f(x) = (3x - 6)e^x$. 1. **Punto de tangencia:** Calculamos la ordenada $f(-1)$: $$f(-1) = (3(-1) - 6)e^{-1} = (-3 - 6)e^{-1} = -9e^{-1} = -\frac{9}{e}.$$ El punto es $P(-1, -9/e)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m$):** Calculamos la derivada $f'(x)$ para $x < 0$ usando la regla del producto: $$f'(x) = 3 \cdot e^x + (3x - 6) \cdot e^x = (3 + 3x - 6)e^x = (3x - 3)e^x.$$ Evaluamos en $x = -1$: $$m = f'(-1) = (3(-1) - 3)e^{-1} = -6e^{-1} = -\frac{6}{e}.$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente en $x=x_0$ es $y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$.

Aplicamos la fórmula de la recta punto-pendiente con $x_0 = -1$, $f(x_0) = -\frac{9}{e}$ y $m = -\frac{6}{e}$: $$y - \left( -\frac{9}{e} \right) = -\frac{6}{e}(x - (-1))$$ $$y + \frac{9}{e} = -\frac{6}{e}(x + 1)$$ Despejamos $y$ para obtener la forma explícita: $$y = -\frac{6}{e}x - \frac{6}{e} - \frac{9}{e}$$ $$y = -\frac{6}{e}x - \frac{15}{e}$$ O de forma más compacta: ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = \frac{-6x - 15}{e}}$$