Cálculo de parámetros mediante asíntotas oblicuas

El enunciado nos indica que la función $f(x)$ tiene una asíntota oblicua que pasa por el punto $(1, 1)$ y tiene pendiente $m = 2$. La ecuación de una recta en su forma punto-pendiente es: $$y - y_0 = m(x - x_0)$$ Sustituyendo el punto $(x_0, y_0) = (1, 1)$ y la pendiente $m = 2$: $$y - 1 = 2(x - 1)$$ $$y - 1 = 2x - 2$$ $$y = 2x - 1$$ Por tanto, la asíntota oblicua es la recta de ecuación **$y = 2x - 1$**, donde identificamos la pendiente $m = 2$ y la ordenada en el origen $n = -1$. 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de una asíntota oblicua siempre tiene la forma $y = mx + n$.

Sabemos que la pendiente $m$ de la asíntota oblicua se calcula mediante el límite: $$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x}$$ Sustituimos la función $f(x) = \frac{ax^2 + bx + 2}{x - 1}$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2 + bx + 2}{x - 1}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + bx + 2}{x^2 - x}$$ Al ser un límite al infinito de un cociente de polinomios del mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$m = \frac{a}{1} = a$$ Como sabemos que $m = 2$, igualamos: $$\boxed{a = 2}$$ 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, la pendiente $m$ de la asíntota oblicua es el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado.

La ordenada en el origen $n$ de la asíntota oblicua se calcula mediante el límite: $$n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - mx]$$ Ya conocemos $a = 2$ y $m = 2$, por lo que $f(x) = \frac{2x^2 + bx + 2}{x - 1}$: $$n = \lim_{x \to \infty} \left[ \frac{2x^2 + bx + 2}{x - 1} - 2x \right]$$ Realizamos la operación de resta buscando el denominador común: $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + bx + 2 - 2x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + bx + 2 - 2x^2 + 2x}{x - 1}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{(b + 2)x + 2}{x - 1}$$ El límite de esta expresión racional es el cociente de los coeficientes de $x$: $$n = b + 2$$ Como determinamos en el primer paso que $n = -1$: $$b + 2 = -1 \implies b = -1 - 2$$ $$\boxed{b = -3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = -3}$$ 💡 **Tip:** También podrías hallar $a$ y $b$ realizando la división polinómica de $ax^2+bx+2$ entre $x-1$. El cociente de dicha división es directamente la ecuación de la asíntota oblicua.