Posición relativa y recta perpendicular común

**a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. (1.25 puntos)** Para estudiar la posición relativa, primero obtenemos un punto y un vector director de cada recta. Para la recta $r$ (dada en paramétricas): - Punto $P_r = (3, 1, -3)$ - Vector director $\vec{v}_r = (1, 0, -1)$ Para la recta $s$ (dada como intersección de planos), podemos pasarla a paramétricas haciendo $x = \mu$: - $x = \mu$ - $y = 1 - x = 1 - \mu$ - $z = 0$ De aquí obtenemos: - Punto $P_s = (0, 1, 0)$ - Vector director $\vec{v}_s = (1, -1, 0)$ 💡 **Tip:** Para estudiar la posición relativa, comparamos los vectores directores y analizamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une puntos de ambas rectas.

Comparamos si los vectores $\vec{v}_r$ y $\vec{v}_s$ son paralelos comprobando si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{1}{1} \neq \frac{0}{-1} \neq \frac{-1}{0}$$ Como los vectores no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por lo tanto, las rectas o se cortan en un punto o se cruzan en el espacio.

Calculamos el vector que une los puntos $P_s$ y $P_r$: $$\vec{P_s P_r} = (3-0, 1-1, -3-0) = (3, 0, -3)$$ Calculamos el determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y $\vec{P_s P_r}$: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_s P_r}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & -3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\det = [1 \cdot (-1) \cdot (-3) + 1 \cdot 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \cdot 0] - [3 \cdot (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \cdot (-3) + 1 \cdot 0 \cdot 0]$$ $$\det = [3 + 0 + 0] - [3 + 0 + 0] = 3 - 3 = 0$$ Como el determinante es **cero**, los tres vectores son coplanarios. Al no ser paralelos, esto implica que las rectas se encuentran en el mismo plano y tienen un punto en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto.}}$$

**b) Halla la recta que corta perpendicularmente a $r$ y a $s$. (1.25 puntos)** Dado que las rectas se cortan, la perpendicular común pasará por el punto de corte $I$ de ambas rectas. Igualamos las coordenadas de $r$ y $s$: $$3 + \lambda = \mu$$ $$1 = 1 - \mu \implies \mu = 0$$ $$-3 - \lambda = 0 \implies \lambda = -3$$ Sustituimos $\mu = 0$ en las ecuaciones de $s$ para hallar el punto de intersección $I$: $$x = 0, \quad y = 1 - 0 = 1, \quad z = 0 \implies I(0, 1, 0)$$ 💡 **Tip:** El punto de intersección es fundamental, ya que la recta perpendicular común a dos rectas que se cortan es la recta perpendicular al plano que las contiene pasando por dicho punto.

El vector director de la recta buscada ($t$) debe ser perpendicular a $\vec{v}_r$ y a $\vec{v}_s$ simultáneamente. Lo obtenemos mediante el producto vectorial: $$\vec{v}_t = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{v}_t = \mathbf{i}(0 - 1) - \mathbf{j}(0 - (-1)) + \mathbf{k}(-1 - 0) = -\mathbf{i} - \mathbf{j} - \mathbf{k} = (-1, -1, -1)$$ Para simplificar la ecuación de la recta, podemos usar el vector proporcional: $$\vec{v}_t = (1, 1, 1)$$

Ya tenemos el punto de paso $I(0, 1, 0)$ y el vector director $\vec{v}_t = (1, 1, 1)$. La ecuación de la recta $t$ en forma paramétrica es: $$t \equiv \begin{cases} x = \alpha \\ y = 1 + \alpha \\ z = \alpha \end{cases}$$ También podemos expresarla en forma continua: $$\frac{x}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{1}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t \equiv \begin{cases} x = \alpha \\ y = 1 + \alpha \\ z = \alpha \end{cases}}$$