Ecuación de un plano y distancia a un punto simétrico

**a) Calcula la ecuación del plano $\pi$** El enunciado indica que la recta perpendicular desde el punto $A(1, 1, 0)$ al plano $\pi$ corta a este en el punto $B(1, 1/2, 1/2)$. Por geometría básica: 1. El vector $\vec{AB}$ es perpendicular al plano, por lo que actúa como **vector normal** $\vec{n}$. 2. El punto $B$ es el punto de contacto, por lo que pertenece al plano. Calculamos el vector $\vec{AB}$: $$\vec{n} = \vec{AB} = B - A = \left(1 - 1, \frac{1}{2} - 1, \frac{1}{2} - 0\right) = \left(0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo. Multiplicamos por $-2$: $$\vec{n}' = (0, 1, -1)$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector paralelo al vector normal original también es un vector normal al plano. Usar números enteros simplifica mucho la ecuación final.

Utilizamos la ecuación general del plano $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, donde $(a, b, c)$ son las componentes del vector normal y $(x_0, y_0, z_0)$ es un punto del plano (usaremos el punto $B$): $$0(x - 1) + 1\left(y - \frac{1}{2}\right) - 1\left(z - \frac{1}{2}\right) = 0$$ $$y - \frac{1}{2} - z + \frac{1}{2} = 0$$ $$y - z = 0$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{y - z = 0}$$

**b) Halla la distancia del punto $A$ a su simétrico respecto a $\pi$** Sea $A'$ el punto simétrico de $A$ respecto al plano $\pi$. Por definición de simetría axial/planar: 1. El segmento $AA'$ es perpendicular al plano. 2. El punto de intersección de la perpendicular con el plano (que es el punto $B$) es el **punto medio** del segmento $AA'$. Esto implica que la distancia total desde $A$ hasta $A'$ es exactamente el doble de la distancia de $A$ al punto de corte $B$: $$d(A, A') = 2 \cdot d(A, B)$$ 💡 **Tip:** No es necesario hallar las coordenadas de $A'$ si solo nos piden la distancia. Basta con saber que $B$ es el punto que proyecta a $A$ sobre el plano.

Primero, calculamos el módulo del vector $\vec{AB}$ para obtener la distancia entre el punto y el plano: $$\vec{AB} = \left(0, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$$ $$d(A, B) = |\vec{AB}| = \sqrt{0^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{0 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$$ $$\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Ahora, multiplicamos por 2 para hallar la distancia al simétrico: $$d(A, A') = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(A, A') = \sqrt{2} \text{ unidades} \approx 1.414 \text{ u}}$$