Sistema de ecuaciones: Rutas de transporte

Primero, definimos las variables que representan el número de viajes por cada ruta: * $A$: número de viajes por la ruta A. * $B$: número de viajes por la ruta B. * $C$: número de viajes por la ruta C. Según el enunciado, tenemos las siguientes relaciones iniciales: 1. La suma total de viajes es 70: $A + B + C = 70$ 2. Los viajes por la ruta B son la suma de A y C: $B = A + C$ 💡 **Tip:** En problemas de sistemas, el primer paso fundamental es identificar claramente qué representa cada incógnita.

Podemos usar la segunda ecuación para simplificar la primera. Sustituimos $A + C = B$ en la ecuación $A + B + C = 70$: $$(A + C) + B = 70 \Rightarrow B + B = 70 \Rightarrow 2B = 70$$ $$B = \frac{70}{2} = 35$$ Sustituyendo el valor de $B$ en la segunda ecuación: $$35 = A + C \Rightarrow A + C = 35$$ Con la información general, sabemos que **$B = 35$** y que la suma de **$A$** y **$C$** debe ser **$35$**, pero aún no conocemos sus valores individuales.

**a) Si sabemos que el doble de la suma de los viajes por las rutas A y C es 70, ¿podemos deducir el número de viajes por cada ruta? Razona la respuesta.** La nueva condición es: $2(A + C) = 70$. Si simplificamos esta ecuación dividiendo ambos miembros entre 2, obtenemos: $$A + C = \frac{70}{2} = 35$$ Observamos que esta es **exactamente la misma relación** que ya habíamos deducido anteriormente. Al no aportar información nueva (es una ecuación dependiente), el sistema resultante tiene 2 ecuaciones efectivas ($B=35$ y $A+C=35$) para 3 incógnitas. Esto significa que el sistema es **Compatible Indeterminado**, lo que implica que existen infinitas soluciones que cumplen la condición (por ejemplo, $A=20, C=15$ o $A=10, C=25$). 💡 **Tip:** Si una nueva ecuación es proporcional a otra ya existente, no añade información y no permite resolver un sistema indeterminado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, no se pueden deducir los viajes exactos}}$$

**b) Si el doble de viajes por la ruta C es igual al número de viajes por la ruta B menos 5, ¿cuántos viajes hace por cada ruta?** Se nos da una nueva condición: $2C = B - 5$. Como ya sabemos del planteamiento inicial que $B = 35$, sustituimos este valor: $$2C = 35 - 5$$ $$2C = 30 \Rightarrow C = \frac{30}{2} = 15$$ Ahora que tenemos $B$ y $C$, usamos la relación $A + C = 35$ para hallar $A$: $$A + 15 = 35$$ $$A = 35 - 15 = 20$$ Comprobamos que la suma total es correcta: $20 + 35 + 15 = 70$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Ruta A: 20 viajes, Ruta B: 35 viajes, Ruta C: 15 viajes}}$$