Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) [1,25 puntos] Comprueba que $A^2 = -A^{-1}$** Para comprobar esta igualdad sin calcular directamente la inversa, demostraremos que $A^3 = -I$. Si esto es cierto, al multiplicar por $A^{-1}$ por la derecha obtendremos la igualdad deseada. Primero, calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$$ Calculamos cada elemento: - $(A^2)_{11} = 0(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $(A^2)_{12} = 0(3) + 3(-4) + 4(3) = 0$ - $(A^2)_{13} = 0(4) + 3(-5) + 4(4) = 1$ - $(A^2)_{21} = 1(0) + (-4)(1) + (-5)(-1) = 1$ - $(A^2)_{22} = 1(3) + (-4)(-4) + (-5)(3) = 4$ - $(A^2)_{23} = 1(4) + (-4)(-5) + (-5)(4) = 4$ - $(A^2)_{31} = (-1)(0) + 3(1) + 4(-1) = -1$ - $(A^2)_{32} = (-1)(3) + 3(-4) + 4(3) = -3$ - $(A^2)_{33} = (-1)(4) + 3(-5) + 4(4) = -3$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos las filas de la primera por las columnas de la segunda. $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos $A^3 = A \cdot A^2$: $$A^3 = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 4 \\ 1 & -4 & -5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} = -I$$ Como $A^3 = -I$, podemos escribir: $$A^2 \cdot A = -I$$ Multiplicando por $A^{-1}$ por la derecha: $$A^2 \cdot A \cdot A^{-1} = -I \cdot A^{-1} \implies A^2 = -A^{-1}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^2 = -A^{-1} \text{ queda comprobado.}}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula la matriz $X$ que verifica $A^4 X + B = AC$** Primero simplificamos $A^4$ usando el resultado anterior ($A^3 = -I$): $$A^4 = A \cdot A^3 = A \cdot (-I) = -A$$ Sustituimos en la ecuación original: $$-AX + B = AC$$ $$-AX = AC - B$$ $$AX = B - AC$$ Para despejar $X$, multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $$X = A^{-1}(B - AC) = A^{-1}B - A^{-1}AC = A^{-1}B - C$$ 💡 **Tip:** Al despejar matrices, el orden importa. Si multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$, debemos hacerlo en ambos lados de la igualdad por la izquierda.

Del apartado a) sabemos que $A^{-1} = -A^2$: $$A^{-1} = -\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \\ -1 & -3 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $A^{-1}B$: $$A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ -1 & -4 & -4 \\ 1 & 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 0 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0+4 & -1+0-5 \\ -1-12+16 & 1+0-20 \\ 1+9-12 & -1+0+15 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1}B = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -19 \\ -2 & 14 \end{pmatrix}$$

Finalmente, restamos la matriz $C$: $$X = A^{-1}B - C = \begin{pmatrix} 5 & -6 \\ 3 & -19 \\ -2 & 14 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 2 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 5-2 & -6-0 \\ 3-(-3) & -19-2 \\ -2-1 & 14-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 6 & -21 \\ -3 & 15 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 6 & -21 \\ -3 & 15 \end{pmatrix}}$$