Cálculo de una primitiva con condición inicial

Para hallar la primitiva general de $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1}$, observamos que el grado del numerador es igual al grado del denominador. En estos casos, debemos realizar primero una división polinómica para descomponer la fracción. Dividimos $x^2 + 1$ entre $x^2 - 1$: $$f(x) = \frac{x^2 + 1}{x^2 - 1} = \frac{(x^2 - 1) + 2}{x^2 - 1} = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} + \frac{2}{x^2 - 1} = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador $P(x)$ es mayor o igual al del denominador $Q(x)$, realizamos la división $P(x) = Q(x) \cdot C(x) + R(x)$, de modo que $\frac{P(x)}{Q(x)} = C(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}$. $$\boxed{f(x) = 1 + \frac{2}{x^2 - 1}}$$

Calculamos la integral indefinida de la función descompuesta: $$F(x) = \int f(x) \, dx = \int \left( 1 + \frac{2}{x^2 - 1} \right) dx = \int 1 \, dx + \int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx = x + \int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx$$ Para resolver la segunda integral, utilizamos el método de **fracciones simples**. Primero, factorizamos el denominador: $$x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$$ Planteamos la descomposición: $$\frac{2}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$$ Multiplicando por el denominador común $(x-1)(x+1)$: $$2 = A(x + 1) + B(x - 1)$$ 💡 **Tip:** Para hallar $A$ y $B$ de forma rápida, damos a $x$ los valores de las raíces del denominador. * Si $x = 1 \Rightarrow 2 = A(1 + 1) + B(1 - 1) \Rightarrow 2 = 2A \Rightarrow \mathbf{A = 1}$ * Si $x = -1 \Rightarrow 2 = A(-1 + 1) + B(-1 - 1) \Rightarrow 2 = -2B \Rightarrow \mathbf{B = -1}$

Sustituimos los valores de $A$ y $B$ en la integral y resolvemos: $$\int \frac{2}{x^2 - 1} \, dx = \int \left( \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} \right) dx = \ln|x - 1| - \ln|x + 1|$$ Sumando todos los términos, obtenemos la primitiva general $F(x)$: $$F(x) = x + \ln|x - 1| - \ln|x + 1| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$), simplificamos la expresión: $$\boxed{F(x) = x + \ln\left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + C}$$

Se nos indica que la gráfica de la primitiva pasa por el punto $(2, 4)$, por lo tanto, se debe cumplir que $F(2) = 4$. Sustituimos $x = 2$ e igualamos a $4$: $$4 = 2 + \ln\left| \frac{2 - 1}{2 + 1} \right| + C$$ $$4 = 2 + \ln\left( \frac{1}{3} \right) + C$$ Sabemos que $\ln\left( \frac{1}{3} \right) = \ln(1) - \ln(3) = 0 - \ln(3) = -\ln(3)$. Sustituimos este valor para despejar $C$: $$4 = 2 - \ln(3) + C$$ $$C = 4 - 2 + \ln(3)$$ $$\mathbf{C = 2 + \ln(3)}$$ 💡 **Tip:** Al sustituir el punto, ten en cuenta el valor absoluto dentro del logaritmo; en este caso $|(2-1)/(2+1)| = 1/3$.

Sustituimos el valor hallado de $C$ en la expresión de $F(x)$: $$F(x) = x + \ln\left| \frac{x - 1}{x + 1} \right| + 2 + \ln(3)$$ Podemos agrupar los términos logarítmicos usando nuevamente la propiedad $\ln a + \ln b = \ln(a \cdot b)$: $$F(x) = x + 2 + \ln\left| \frac{3(x - 1)}{x + 1} \right|$$ Como el punto de estudio $(2, 4)$ pertenece al intervalo $x > 1$, la expresión dentro del valor absoluto es positiva y podemos prescindir de él. ✅ **Solución final:** $$\boxed{F(x) = x + 2 + \ln\left( \frac{3x - 3}{x + 1} \right)}$$