Estudio de la curvatura y puntos de inflexión

Para hallar la primera derivada de una función definida mediante una integral, utilizaremos el **Teorema Fundamental del Cálculo**, que nos dice que si $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$, entonces $F'(x) = g(x)$. En nuestro caso: $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 + \int_{0}^{x} t e^t dt \right)$$ La derivada de la constante $1$ es $0$, y aplicamos el teorema a la integral: $$f'(x) = 0 + x e^x = x e^x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema Fundamental del Cálculo relaciona la derivada con la integral definida cuando el límite superior es la variable $x$.

Para estudiar la curvatura, necesitamos la segunda derivada $f''(x)$. Derivamos $f'(x) = x e^x$ utilizando la **regla del producto**: $$f''(x) = (x)' \cdot e^x + x \cdot (e^x)'$$ $$f''(x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1 + x) e^x$$ 💡 **Tip:** La regla del producto establece que $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. Aquí $u = x$ y $v = e^x$. $$\boxed{f''(x) = (1 + x) e^x}$$

Buscamos los valores de $x$ donde la segunda derivada se anula o no existe para identificar posibles cambios de curvatura: $$(1 + x) e^x = 0$$ Dado que la función exponencial $e^x$ es siempre estrictamente positiva ($e^x \gt 0$) para cualquier $x \in \mathbb{R}$, la única posibilidad es que el factor polinómico sea cero: $$1 + x = 0 \implies x = -1$$ Este valor divide la recta real en dos intervalos de estudio: $(-\infty, -1)$ y $(-1, +\infty)$.

Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos determinados para establecer la concavidad y convexidad: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty,-1) & -1 & (-1,+\infty)\\ \hline 1+x & - & 0 & +\\ e^x & + & + & +\\ \hline f''(x)=(1+x)e^x & - & 0 & + \end{array} $$ Interpretación de los resultados: - En el intervalo **$(-\infty, -1)$**, $f''(x) \lt 0$, por lo que la función es **cóncava** ($\cap$). - En el intervalo **$(-1, +\infty)$**, $f''(x) \gt 0$, por lo que la función es **convexa** ($\cup$). ✅ **Intervalos de curvatura:** $$\boxed{\text{Cóncava en } (-\infty, -1) \text{ y Convexa en } (-1, +\infty)}$$

Puesto que hay un cambio de curvatura en $x = -1$, existe un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada $f(-1)$: $$f(-1) = 1 + \int_{0}^{-1} t e^t dt$$ Resolvemos primero la integral indefinida por partes ($\int u \, dv = uv - \int v \, du$): Sea $u = t \implies du = dt$ Sea $dv = e^t dt \implies v = e^t$ $$\int t e^t dt = t e^t - \int e^t dt = (t - 1)e^t$$ Ahora aplicamos la **regla de Barrow** para la integral definida: $$\int_{0}^{-1} t e^t dt = \left[ (t - 1) e^t \right]_{0}^{-1} = ((-1) - 1) e^{-1} - (0 - 1) e^0$$ $$= -2 e^{-1} - (-1) = 1 - \frac{2}{e}$$ Finalmente, sumamos la constante inicial: $$f(-1) = 1 + \left( 1 - \frac{2}{e} \right) = 2 - \frac{2}{e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el punto completo $(x, y)$, siempre debes sustituir el valor de $x$ en la función original $f(x)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Punto de Inflexión: } \left(-1, 2 - \frac{2}{e}\right)}$$