Cálculo de parámetros de una función racional a partir de un punto crítico

Para que el punto $(1, 2)$ sea un punto crítico de la función $f(x)$, debe cumplir dos condiciones fundamentales: 1. **Pertenencia a la gráfica**: El punto debe estar en la función, es decir, $f(1) = 2$. 2. **Anulación de la derivada**: Al ser un punto crítico (un posible extremo relativo), la derivada en ese punto debe ser cero, es decir, $f'(1) = 0$. Empezamos aplicando la primera condición $f(1) = 2$ sobre la función $f(x) = \frac{bx^2}{1 + ax^4}$: $$f(1) = \frac{b(1)^2}{1 + a(1)^4} = \frac{b}{1 + a}$$ Como sabemos que $f(1) = 2$: $$\frac{b}{1 + a} = 2 \implies b = 2(1 + a) \implies \mathbf{b = 2 + 2a} \quad \text{--- (Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de $f$, siempre se cumple que $f(x_0) = y_0$.

Para aplicar la segunda condición ($f'(1) = 0$), primero debemos hallar la expresión general de la derivada $f'(x)$ utilizando la **regla del cociente**: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Definimos las funciones: - $u = bx^2 \implies u' = 2bx$ - $v = 1 + ax^4 \implies v' = 4ax^3$ Sustituimos en la fórmula: $$f'(x) = \frac{(2bx)(1 + ax^4) - (bx^2)(4ax^3)}{(1 + ax^4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2bx + 2abx^5 - 4abx^5}{(1 + ax^4)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2bx - 2abx^5}{(1 + ax^4)^2}$$ Podemos simplificar el numerador sacando factor común: $$\boxed{f'(x) = \frac{2bx(1 - ax^4)}{(1 + ax^4)^2}}$$

Imponemos que la derivada sea nula en $x = 1$, es decir, $f'(1) = 0$: $$f'(1) = \frac{2b(1)(1 - a(1)^4)}{(1 + a(1)^4)^2} = \frac{2b(1 - a)}{(1 + a)^2} = 0$$ Para que una fracción sea igual a cero, el **numerador debe ser cero**. Dado que el enunciado indica que $b \gt 0$, la única posibilidad es que el factor entre paréntesis se anule: $$1 - a = 0 \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** Un punto crítico es aquel donde la derivada se anula o no existe. En funciones racionales derivables en su dominio, buscamos los puntos donde el numerador de la derivada es cero.

Una vez obtenido el valor de $a = 1$, lo sustituimos en la **Ecuación 1** que obtuvimos en el primer paso para hallar $b$: $$b = 2 + 2a$$ $$b = 2 + 2(1) = 2 + 2 = 4$$ Por tanto, los valores de los parámetros son: $$\boxed{a = 1, \quad b = 4}$$ Ambos valores cumplen la restricción del enunciado ($a \gt 0$ y $b \gt 0$). La función resultante es $f(x) = \frac{4x^2}{1 + x^4}$.