Cálculo de parámetros en un límite mediante la regla de L'Hôpital

Para resolver este problema, evaluamos primero el límite directamente sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{a(1 - \cos(0)) + b \operatorname{sen}(0) - 2(e^0 - 1)}{0^2} = \frac{a(1 - 1) + b(0) - 2(1 - 1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**, que consiste en derivar el numerador y el denominador de forma independiente. 💡 **Tip:** Recuerda que la regla de L'Hôpital se aplica cuando tenemos indeterminaciones de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ y las funciones son derivables en el entorno del punto.

Derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $\frac{d}{dx}[a(1 - \cos(x)) + b \operatorname{sen}(x) - 2(e^x - 1)] = a \operatorname{sen}(x) + b \cos(x) - 2e^x$ - Derivada del denominador: $\frac{d}{dx}[x^2] = 2x$ El límite queda como: $$\lim_{x \to 0} \frac{a \operatorname{sen}(x) + b \cos(x) - 2e^x}{2x}$$ Para que este límite pueda ser igual a un valor finito (en este caso 7), dado que el denominador tiende a $0$ cuando $x \to 0$, el numerador también debe tender a $0$. Si el numerador tendiera a un número distinto de cero, el límite sería infinito. Evaluamos el numerador en $x = 0$ e igualamos a cero: $$a \operatorname{sen}(0) + b \cos(0) - 2e^0 = 0 \implies 0 + b(1) - 2(1) = 0 \implies b - 2 = 0$$ $$\boxed{b = 2}$$ 💡 **Tip:** En límites con parámetros, si el denominador tiende a cero y el límite es un número real, el numerador obligatoriamente debe tender a cero para evitar que el resultado sea $\pm\infty$.

Sustituimos el valor hallado $b = 2$ en la expresión del límite: $$\lim_{x \to 0} \frac{a \operatorname{sen}(x) + 2 \cos(x) - 2e^x}{2x}$$ Si evaluamos de nuevo, volvemos a obtener una indeterminación $\frac{0}{0}$: $$\frac{a(0) + 2(1) - 2(1)}{0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[a \operatorname{sen}(x) + 2 \cos(x) - 2e^x]}{\frac{d}{dx}[2x]} = \lim_{x \to 0} \frac{a \cos(x) - 2 \operatorname{sen}(x) - 2e^x}{2}$$

Ahora evaluamos el límite resultante y lo igualamos al valor dado en el enunciado ($7$): $$\frac{a \cos(0) - 2 \operatorname{sen}(0) - 2e^0}{2} = 7$$ Sustituimos los valores trigonométricos y la exponencial: $$\frac{a(1) - 2(0) - 2(1)}{2} = 7 \implies \frac{a - 2}{2} = 7$$ Resolvemos la ecuación para $a$: $$a - 2 = 14 \implies a = 14 + 2 \implies a = 16$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 16, \quad b = 2}$$