Posición relativa de dos rectas y ángulo entre ellas

**a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$ según los valores de $m$. (1.5 puntos)** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, primero identificamos un punto y un vector director de cada una. La recta $r$ viene dada en su forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2 + m\lambda \end{cases}$$ De aquí obtenemos directamente: - Un punto de $r$: $P_r(1, 1, 2)$ - El vector director de $r$: $\vec{v}_r = (1, 1, m)$ 💡 **Tip:** En las ecuaciones paramétricas, el punto es el término independiente y las componentes del vector son los coeficientes que acompañan al parámetro $\lambda$.

La recta $s$ está definida como la intersección de dos planos (forma implícita): $$s \equiv \begin{cases} x - y + 2z = 3 \\ x + z = 2 \end{cases}$$ Para hallar su vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos, $\vec{n}_1 = (1, -1, 2)$ y $\vec{n}_2 = (1, 0, 1)$: $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-1-0) - \vec{j}(1-2) + \vec{k}(0-(-1)) = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$ $$\vec{v}_s = (-1, 1, 1)$$ Ahora buscamos un punto $P_s$ de la recta $s$. Si fijamos $z = 0$ en las ecuaciones: $$x + 0 = 2 \implies x = 2$$ $$2 - y + 2(0) = 3 \implies -y = 1 \implies y = -1$$ Así, un punto de $s$ es $P_s(2, -1, 0)$. 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas es siempre perpendicular a los vectores normales de los planos que la definen.

Para conocer la posición relativa, estudiamos la dependencia lineal de los vectores $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector que une un punto de cada recta: $\vec{P_r P_s}$. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2-1, -1-1, 0-2) = (1, -2, -2)$$ Calculamos el determinante formado por los tres vectores: $$\text{det}(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\text{det} = [1 \cdot 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-2) \cdot m] - [1 \cdot 1 \cdot m + (-2) \cdot 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$\text{det} = [-2 + 1 + 2m] - [m - 2 + 2]$$ $$\text{det} = (2m - 1) - m = m - 1$$

Analizamos los casos según el valor del determinante $m - 1$: **Caso 1: $m \neq 1$** Si $m \neq 1$, el determinante es distinto de cero. Esto significa que los vectores $\vec{v}_r, \vec{v}_s$ y $\vec{P_r P_s}$ son linealmente independientes. Las rectas no son coplanarias y no son paralelas (ya que sus vectores directores no son proporcionales, $\frac{1}{-1} \neq \frac{1}{1}$). Por tanto, las rectas **se cruzan**. **Caso 2: $m = 1$** Si $m = 1$, el determinante es cero. Las rectas son coplanarias. Comprobamos si son paralelas comparando sus vectores directores: $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ y $\vec{v}_s = (-1, 1, 1)$. Como no son proporcionales (sus componentes no guardan la misma relación), las rectas no son paralelas. Por tanto, las rectas **se cortan** en un punto. ✅ **Resultado (posición relativa):** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, \text{ las rectas se cruzan; si } m = 1, \text{ las rectas se cortan.}}$$

**b) Para $m = 1$, calcula el coseno del ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. (1 punto)** Para $m = 1$, los vectores directores son: $\vec{v}_r = (1, 1, 1)$ $\vec{v}_s = (-1, 1, 1)$ La fórmula para el coseno del ángulo $\alpha$ que forman dos rectas es: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_s|}$$ 1. Calculamos el producto escalar (en valor absoluto): $$|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s| = |(1)(-1) + (1)(1) + (1)(1)| = |-1 + 1 + 1| = |1| = 1$$ 2. Calculamos los módulos de los vectores: $$|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{v}_s| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$ 3. Aplicamos la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{1}{3}$$ 💡 **Tip:** El ángulo entre dos rectas se define siempre como el ángulo agudo, por eso usamos el valor absoluto en el producto escalar del numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos \alpha = \frac{1}{3}}$$