Área de un cuadrado entre rectas paralelas

Para que dos rectas contengan los lados de un cuadrado, estas deben ser forzosamente **paralelas**. El lado del cuadrado ($l$) será igual a la **distancia entre dichas rectas**, y el área será $A = l^2$. Primero, extraemos los elementos característicos de la recta $r$ (que está en forma continua): - Punto de $r$: $P_r = (0, -2, 1)$ - Vector director de $r$: $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$ 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos. Obtenemos su vector director $\vec{v}_s$ mediante el producto vectorial de los vectores normales a los planos: $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (3, -1, -1)$. $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus (o desarrollo por la primera fila): $$\vec{v}_s = ((-1)(-1) - (1)(-1))\mathbf{i} - ((1)(-1) - (1)(3))\mathbf{j} + ((1)(-1) - (-1)(3))\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_s = (1 + 1)\mathbf{i} - (-1 - 3)\mathbf{j} + (-1 + 3)\mathbf{k} = (2, 4, 2)$$ **Comprobación de paralelismo:** Observamos que $\vec{v}_s = (2, 4, 2) = 2 \cdot (1, 2, 1) = 2 \cdot \vec{v}_r$. Como los vectores son proporcionales, las rectas son **paralelas**. $$\boxed{\vec{v}_s = (2, 4, 2) \parallel \vec{v}_r}$$

Para calcular la distancia entre las rectas, necesitamos un punto $P_s$ perteneciente a $s$. Resolvemos el sistema de ecuaciones de la recta dando un valor arbitrario a una de las variables, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x - y = 2 \\ 3x - y = -4 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar la $y$: $$(3x - y) - (x - y) = -4 - 2 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$$ Sustituimos $x = -3$ en la primera ecuación: $$-3 - y = 2 \Rightarrow -y = 5 \Rightarrow y = -5$$ Por tanto, el punto es: $$\boxed{P_s = (-3, -5, 0)}$$

La distancia entre dos rectas paralelas es igual a la distancia de un punto de una de ellas a la otra recta. Usaremos la fórmula: $$d(r, s) = d(P_s, r) = \frac{|\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r|}{|\vec{v}_r|}$$ 1. Calculamos el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (-3 - 0, -5 - (-2), 0 - 1) = (-3, -3, -1)$$ 2. Calculamos el producto vectorial $\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r$: $$\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & -3 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (-3 + 2)\mathbf{i} - (-3 + 1)\mathbf{j} + (-6 + 3)\mathbf{k} = (-1, 2, -3)$$ 3. Módulos: $|\vec{P_r P_s} \times \vec{v}_r| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$ $|\vec{v}_r| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ 4. Distancia (lado $l$): $$l = \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{14}{6}} = \sqrt{\frac{7}{3}} \text{ unidades}$$

El área $A$ de un cuadrado de lado $l$ es $l^2$. $$A = l^2 = \left( \sqrt{\frac{7}{3}} \right)^2 = \frac{7}{3} \text{ u}^2$$ En formato decimal, el área es aproximadamente $2,33$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{7}{3} \text{ u}^2}$$