Propiedades de los determinantes

**a) Calcula razonadamente $\left| \frac{1}{3} A^{-1} A^t \right|$. (0.5 puntos)** Para resolver este apartado, aplicaremos las propiedades fundamentales de los determinantes. Sea $M$ una matriz cuadrada de orden $n$ (en este caso $n=3$): 1. **Producto por un escalar:** $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$. 2. **Producto de matrices:** $|M \cdot N| = |M| \cdot |N|$. 3. **Matriz inversa:** $|M^{-1}| = \frac{1}{|M|}$ (si $|M| \neq 0$). 4. **Matriz traspuesta:** $|M^t| = |M|$. 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un número fuera de un determinante de orden $n$, este sale elevado a la potencia $n$.

Aplicamos las propiedades anteriores a la expresión dada, sabiendo que $A$ es una matriz de orden $3$ y $|A|=2$: $$\left| \frac{1}{3} A^{-1} A^t \right| = \left( \frac{1}{3} \right)^3 \cdot |A^{-1}| \cdot |A^t|$$ Sustituimos las propiedades de la inversa y la traspuesta: $$\left| \frac{1}{3} A^{-1} A^t \right| = \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{|A|} \cdot |A|$$ Como $|A| = 2$, podemos simplificar la fracción (ya que $|A| \neq 0$): $$\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 = \frac{1}{27}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left| \frac{1}{3} A^{-1} A^t \right| = \frac{1}{27}}$$

**b) Calcula razonadamente los determinantes... (2 puntos)** Partimos de $|A| = \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 2$. Queremos calcular: $$D_1 = \begin{vmatrix} 6c & 2b & 2a \\ 3f & e & d \\ 9 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ 1. Extraemos factor común $3$ de la primera columna ($C_1$): $$D_1 = 3 \begin{vmatrix} 2c & 2b & 2a \\ f & e & d \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ 2. Extraemos factor común $2$ de la primera fila ($R_1$): $$D_1 = 3 \cdot 2 \begin{vmatrix} c & b & a \\ f & e & d \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 6 \begin{vmatrix} c & b & a \\ f & e & d \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ 3. Intercambiamos la primera columna ($C_1$) y la tercera columna ($C_3$). Esta operación cambia el signo del determinante: $$D_1 = -6 \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Como el determinante resultante es $|A|=2$: $$D_1 = -6 \cdot 2 = -12$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{D_1 = -12}$$

Ahora calculamos el segundo determinante: $$D_2 = \begin{vmatrix} 2a - 2b & c & b \\ 2d - 2e & f & e \\ -2 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ 1. Extraemos factor común $2$ de la primera columna ($C_1$): $$D_2 = 2 \begin{vmatrix} a - b & c & b \\ d - e & f & e \\ -1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ 2. Realizamos la operación elemental entre columnas $C_1 = C_1 + C_3$. Esta operación no varía el valor del determinante: $$D_2 = 2 \begin{vmatrix} (a - b) + b & c & b \\ (d - e) + e & f & e \\ -1 + 2 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \begin{vmatrix} a & c & b \\ d & f & e \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$$ 3. Intercambiamos la segunda columna ($C_2$) y la tercera columna ($C_3$), lo que cambia el signo: $$D_2 = -2 \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Sustituimos el valor de $|A|=2$: $$D_2 = -2 \cdot 2 = -4$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{D_2 = -4}$$