Discusión y resolución de un sistema homogéneo con parámetros

**a) Calcula $m$ para que el sistema tenga infinitas soluciones y hállalas. (1,5 puntos)** El sistema propuesto es un **sistema homogéneo**, ya que todos los términos independientes son cero. Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=0, y=0, z=0$). Para que tenga infinitas soluciones (Sistema Compatible Indeterminado), el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre cuando el determinante de la matriz es igual a cero. Escribimos la matriz de coeficientes $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & m \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante $|A|$ mediante la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 3 & -1 & -2 \\ -1 & 2 & m \end{vmatrix} = [1 \cdot (-1) \cdot m + 1 \cdot (-2) \cdot (-1) + 2 \cdot 3 \cdot 2] - [2 \cdot (-1) \cdot (-1) + 1 \cdot 3 \cdot m + 1 \cdot (-2) \cdot 2]$$ $$|A| = [-m + 2 + 12] - [2 + 3m - 4]$$ $$|A| = -m + 14 - (3m - 2) = -m + 14 - 3m + 2 = -4m + 16$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo tiene soluciones distintas de la trivial si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero.

Para que el sistema tenga infinitas soluciones, imponemos $|A| = 0$: $$-4m + 16 = 0 \implies 4m = 16 \implies m = 4$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Si $m \neq 4$, $|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3 = \text{nº incógnitas}$. El sistema es **Compatible Determinado** (solo tiene la solución trivial). - Si $m = 4$, $|A| = 0 \implies \text{rg}(A) \lt 3$. El sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). ✅ **Valor de $m$:** $$\boxed{m = 4}$$

Sustituimos $m = 4$ en el sistema: $$\begin{cases} x + y + 2z = 0 \\ 3x - y - 2z = 0 \\ -x + 2y + 4z = 0 \end{cases}$$ Observamos que la tercera ecuación es dependiente de las otras (por ejemplo, es la segunda fila menos dos veces la primera multiplicada por algo, o simplemente sabemos que el determinante es 0). Resolvemos usando las dos primeras ecuaciones: 1) $x + y + 2z = 0$ 2) $3x - y - 2z = 0$ Si sumamos ambas ecuaciones directamente: $$(x + 3x) + (y - y) + (2z - 2z) = 0 \implies 4x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$$ Sustituimos $x = 0$ en la primera ecuación: $$0 + y + 2z = 0 \implies \mathbf{y = -2z}$$ Para expresar la solución general, tomamos $z$ como parámetro $\lambda$: Let $z = \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R}$. Entonces: $x = 0$, $y = -2\lambda$. ✅ **Soluciones para $m = 4$:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, -2\lambda, \lambda) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Para $m = 2$, ¿existe alguna solución tal que $z = 1$? En caso afirmativo, calcúlala. En caso negativo, justifica la respuesta. (1 punto)** Si $m = 2$, calculamos el valor del determinante utilizando la expresión obtenida en el apartado anterior: $$|A| = -4m + 16 = -4(2) + 16 = -8 + 16 = 8$$ Como $|A| = 8 \neq 0$, el rango de la matriz $A$ es 3. Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, al ser un sistema homogéneo con $\text{rg}(A) = 3$ (igual al número de incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que la única solución posible es la **solución trivial**: $$x = 0, \quad y = 0, \quad z = 0$$ Por tanto, no puede existir ninguna solución donde $z = 1$, ya que en la única solución existente, el valor de $z$ debe ser necesariamente $0$. 💡 **Tip:** En un sistema homogéneo determinado, todas las incógnitas deben ser obligatoriamente cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe tal solución, pues para } m=2 \text{ el sistema solo admite la solución trivial } (0,0,0)}$$