Cálculo de una integral definida mediante cambio de variable

**Calcula $\int_{0}^{2} \frac{1}{1+\sqrt{e^{x}}} dx$ mediante el cambio de variable $t = \sqrt{e^{x}}$.** Siguiendo la sugerencia, definimos el cambio de variable: $$t = \sqrt{e^x} \implies t = e^{x/2}$$ Para hallar $dx$ en función de $dt$, elevamos al cuadrado para despejar $x$: $$t^2 = e^x \implies \ln(t^2) = \ln(e^x) \implies 2\ln(t) = x$$ Derivamos ambos miembros respecto a sus variables: $$dx = \frac{2}{t} dt$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable en una integral definida, es fundamental no olvidar transformar también el diferencial ($dx$) y los límites de integración.

Como la integral es definida, debemos cambiar los límites de $x$ (0 y 2) a los límites correspondientes de $t$ usando la relación $t = \sqrt{e^x}$: - Si **$x = 0$**: $t = \sqrt{e^0} = \sqrt{1} = 1$. - Si **$x = 2$**: $t = \sqrt{e^2} = e$. Por tanto, la integral en la variable $t$ se evaluará entre **1** y **$e$**.

Sustituimos todos los elementos en la integral original: $$\int_{0}^{2} \frac{1}{1+\sqrt{e^{x}}} dx = \int_{1}^{e} \frac{1}{1+t} \cdot \frac{2}{t} dt = \int_{1}^{e} \frac{2}{t(1+t)} dt$$ Observamos que el integrando es una función racional propia. Para resolverla, utilizaremos el método de **descomposición en fracciones simples**: $$\frac{2}{t(1+t)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{1+t}$$ Multiplicando por el denominador común $t(1+t)$: $$2 = A(1+t) + Bt$$ - Si **$t = 0$**: $2 = A(1+0) \implies A = 2$. - Si **$t = -1$**: $2 = B(-1) \implies B = -2$. Así, la fracción queda: $$\frac{2}{t(1+t)} = \frac{2}{t} - \frac{2}{1+t}$$

Ahora calculamos la integral de cada término de forma inmediata: $$\int \left( \frac{2}{t} - \frac{2}{1+t} \right) dt = 2\ln|t| - 2\ln|1+t| = 2\ln \left| \frac{t}{1+t} \right|$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln|x+a| + C$ y que por propiedades de logaritmos $\ln(a) - \ln(b) = \ln(a/b)$.

Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando la primitiva en los límites calculados anteriormente ($1$ y $e$): $$\left[ 2\ln \left| \frac{t}{1+t} \right| \right]_{1}^{e} = \left( 2\ln \frac{e}{1+e} \right) - \left( 2\ln \frac{1}{1+1} \right)$$ Operamos simplificando mediante las propiedades de los logaritmos: $$= 2 \left( \ln e - \ln(1+e) \right) - 2 \left( \ln 1 - \ln 2 \right)$$ Como $\ln e = 1$ y $\ln 1 = 0$: $$= 2(1 - \ln(1+e)) - 2(0 - \ln 2) = 2 - 2\ln(1+e) + 2\ln 2$$ $$= 2 + 2(\ln 2 - \ln(1+e)) = 2 + 2\ln \left( \frac{2}{1+e} \right)$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2 + 2\ln \left( \frac{2}{1+e} \right) \approx 0.764}$$