Monotonía, extremos y cálculo de área de una función logarítmica

**a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$, así como sus extremos relativos.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, primero calculamos la primera derivada de la función utilizando la regla de la cadena. Dada $f(x) = (\ln(x))^2$, su derivada es: $$f'(x) = 2(\ln(x)) \cdot \frac{d}{dx}(\ln(x)) = 2\ln(x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{2\ln(x)}{x}$$ Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{2\ln(x)}{x} = 0 \implies 2\ln(x) = 0 \implies \ln(x) = 0 \implies x = e^0 = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar una potencia de una función $[u(x)]^n$ usamos la regla de la cadena: $n \cdot [u(x)]^{n-1} \cdot u'(x)$. En este caso, $u(x) = \ln(x)$.

El dominio de la función es $(0, +\infty)$. El punto crítico $x = 1$ divide el dominio en dos intervalos. Evaluamos el signo de $f'(x) = \frac{2\ln(x)}{x}$ en cada uno: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0,1) & 1 & (1,+\infty)\\ \hline 2\ln(x) & - & 0 & +\\ x & + & + & +\\ \hline f'(x) & - & 0 & + \end{array} $$ - En el intervalo **$(0, 1)$**, $f'(x) \lt 0$, por lo que la función es **decreciente**. - En el intervalo **$(1, +\infty)$**, $f'(x) \gt 0$, por lo que la función es **creciente**. ✅ **Intervalos de monotonía:** $$\boxed{\text{Decreciente en } (0, 1) \text{ y Creciente en } (1, +\infty)}$$

Como la función es continua en su dominio y pasa de ser decreciente a ser creciente en $x = 1$, existe un **mínimo relativo** en ese punto. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo en $f(x)$: $$f(1) = (\ln(1))^2 = 0^2 = 0$$ No existen máximos relativos ya que la derivada solo se anula en $x=1$ y el comportamiento en los extremos del dominio no indica la existencia de otros extremos locales. ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en } (1, 0)}$$

**b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f$ y las rectas $y = 0$, $x = 1$, $x = e$.** El área buscada es la integral definida de la función entre las rectas verticales dadas. Dado que $f(x) = (\ln(x))^2$ siempre es mayor o igual que cero (es un cuadrado), el área coincide con el valor de la integral: $$\text{Área} = \int_{1}^{e} (\ln(x))^2 \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar si la función corta al eje $OX$ en el intervalo de integración. Aquí corta en $x=1$, que es justo el límite inferior.

Resolvemos primero la integral indefinida $\int (\ln(x))^2 \, dx$ aplicando el método de **integración por partes** dos veces. **Primera aplicación:** Sea $u = (\ln(x))^2 \implies du = \frac{2\ln(x)}{x} dx$ Sea $dv = dx \implies v = x$ $$\int (\ln(x))^2 \, dx = x(\ln(x))^2 - \int x \cdot \frac{2\ln(x)}{x} \, dx = x(\ln(x))^2 - 2 \int \ln(x) \, dx$$ **Segunda aplicación** para $\int \ln(x) \, dx$: Sea $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ Sea $dv = dx \implies v = x$ $$\int \ln(x) \, dx = x\ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x\ln(x) - \int 1 \, dx = x\ln(x) - x$$ Sustituyendo el resultado de la segunda integral en la primera, obtenemos la primitiva: $$F(x) = x(\ln(x))^2 - 2(x\ln(x) - x) = x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x + C$$

Aplicamos la regla de Barrow para calcular el área entre $1$ y $e$: $$\text{Área} = \left[ x(\ln(x))^2 - 2x\ln(x) + 2x \right]_1^e$$ Calculamos los valores en los extremos: - Para $x = e$: $e(\ln(e))^2 - 2e\ln(e) + 2e = e(1)^2 - 2e(1) + 2e = e - 2e + 2e = e$ - Para $x = 1$: $1(\ln(1))^2 - 2(1)\ln(1) + 2(1) = 1(0)^2 - 2(0) + 2 = 2$ Restamos ambos valores: $$\text{Área} = e - 2 \approx 0,718 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = e - 2 \text{ unidades de área}}$$