Cálculo de parámetros en una función trigonométrica

Para resolver este problema, necesitamos utilizar la información sobre el punto crítico y la recta normal. Primero, calculamos la derivada de la función $f(x) = a + b\operatorname{sen}(x) + c\operatorname{sen}(2x)$. Derivamos aplicando la regla de la cadena para el término $\operatorname{sen}(2x)$: $$f'(x) = b\cos(x) + c\cos(2x) \cdot 2 = b\cos(x) + 2c\cos(2x)$$ Las condiciones del enunciado son: 1. Un **punto crítico** en $x = \pi$, lo que implica que la primera derivada se anula en ese punto: $f'(\pi) = 0$. 2. Una **recta normal** en $x = 0$, lo que nos da información sobre la pendiente de la tangente en ese punto y sobre el valor de la función en dicho punto. 💡 **Tip:** Recuerda que un punto crítico es aquel donde la derivada es cero (si la función es derivable), y que la pendiente de la recta normal $m_n$ y la de la tangente $m_t$ en un punto cumplen la relación $m_t \cdot m_n = -1$.

Utilizamos la condición $f'(\pi) = 0$ en la expresión de la derivada: $$f'(\pi) = b\cos(\pi) + 2c\cos(2\pi) = 0$$ Sabemos que $\cos(\pi) = -1$ y $\cos(2\pi) = 1$, por tanto: $$b(-1) + 2c(1) = 0 \implies -b + 2c = 0 \implies b = 2c$$ $$\boxed{b = 2c}$$

La recta normal en $x = 0$ es $y = -\frac{1}{2}x + 3$. De esta ecuación extraemos dos datos cruciales: **1. La pendiente de la recta normal ($m_n$):** La pendiente es el coeficiente de $x$, es decir, $m_n = -\frac{1}{2}$. Como la relación entre la pendiente de la tangente ($m_t$) y la normal es $m_t = -\frac{1}{m_n}$: $$m_t = -\frac{1}{-1/2} = 2$$ Sabemos que la pendiente de la recta tangente en $x=0$ es $f'(0)$, por lo que: $$f'(0) = 2$$ **2. El punto de tangencia:** El punto de abscisa $x = 0$ pertenece tanto a la gráfica de la función como a la recta normal. Calculamos la ordenada sustituyendo $x=0$ en la recta normal: $$y = -\frac{1}{2}(0) + 3 = 3$$ Por lo tanto, el punto $(0, 3)$ pertenece a la gráfica de $f$, es decir: $f(0) = 3$. 💡 **Tip:** La recta normal y la función siempre comparten el punto de tangencia $(x_0, f(x_0))$.

Ahora aplicamos los datos obtenidos al sistema de ecuaciones: **Para hallar $a$:** Usamos $f(0) = 3$ en la función original $f(x) = a + b\operatorname{sen}(x) + c\operatorname{sen}(2x)$: $$f(0) = a + b\operatorname{sen}(0) + c\operatorname{sen}(0) = 3$$ Como $\operatorname{sen}(0) = 0$: $$a + 0 + 0 = 3 \implies \boxed{a = 3}$$ **Para hallar $b$ y $c$:** Usamos $f'(0) = 2$ en la derivada $f'(x) = b\cos(x) + 2c\cos(2x)$: $$f'(0) = b\cos(0) + 2c\cos(0) = 2$$ Como $\cos(0) = 1$: $$b(1) + 2c(1) = 2 \implies b + 2c = 2$$ Ya teníamos de la primera condición que $b = 2c$. Sustituimos: $$2c + 2c = 2 \implies 4c = 2 \implies c = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ Finalmente, calculamos $b$: $$b = 2c = 2\left(\frac{1}{2}\right) = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 3, \quad b = 1, \quad c = \frac{1}{2}}$$