Parámetros en función a trozos y rectas tangente y normal

**a) Determina $a$ y $b$. (1.5 puntos)** Para que la función sea derivable en $\mathbb{R}$, primero debe ser continua en todo su dominio. El único punto de posible conflicto es el salto entre ramas en $x = 0$, ya que cada rama por separado es continua en su intervalo de definición (nota que el denominador $x-1$ de la primera rama solo se anula en $x=1$, que no pertenece al intervalo $x \le 0$). Para que $f$ sea continua en $x=0$, se debe cumplir que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales: 1. Rama izquierda ($x \le 0$): $$\lim_{x \to 0^-} \frac{ax+b}{x-1} = \frac{a(0)+b}{0-1} = -b$$ $$f(0) = -b$$ 2. Rama derecha ($x \gt 0$): $$\lim_{x \to 0^+} \ln(1+x) = \ln(1+0) = \ln(1) = 0$$ Igualamos los resultados: $$-b = 0 \implies b = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad. Si una función no es continua en un punto, es imposible que sea derivable en dicho punto. $$\boxed{b = 0}$$

Una vez asegurada la continuidad ($b=0$), la función es: $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{ax}{x - 1} & \text{si } x \le 0 \\ \ln(1 + x) & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Para que sea derivable en $x=0$, las derivadas laterales deben coincidir: $f'(0^-) = f'(0^+)$. Calculamos la derivada de cada rama: - Para $x < 0$, usamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{a(x-1) - ax(1)}{(x-1)^2} = \frac{ax - a - ax}{(x-1)^2} = \frac{-a}{(x-1)^2}$$ - Para $x > 0$: $$f'(x) = \frac{1}{1+x}$$ Evaluamos los límites de la derivada en $x=0$: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} \frac{-a}{(x-1)^2} = \frac{-a}{(-1)^2} = -a$$ $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1} = 1$$ Igualamos las derivadas laterales: $$-a = 1 \implies a = -1$$ 💡 **Tip:** Para derivar un cociente $\frac{u}{v}$, la fórmula es $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = -1, \quad b = 0}$$

**b) Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 2$. (1 punto)** Como $x = 2 \gt 0$, utilizamos la segunda rama de la función: $$f(x) = \ln(1+x)$$ **1. Calculamos la ordenada del punto:** $$f(2) = \ln(1+2) = \ln(3)$$ El punto de tangencia es $P(2, \ln(3))$. **2. Calculamos la pendiente de la recta tangente ($m_t$):** Utilizamos la derivada de la rama correspondiente: $$f'(x) = \frac{1}{1+x} \implies m_t = f'(2) = \frac{1}{1+2} = \frac{1}{3}$$ **3. Calculamos la pendiente de la recta normal ($m_n$):** La pendiente de la normal es la inversa y opuesta de la tangente: $$m_n = -\frac{1}{f'(2)} = -\frac{1}{1/3} = -3$$ 💡 **Tip:** La ecuación punto-pendiente es $y - y_0 = m(x - x_0)$.

Sustituimos el punto $(2, \ln(3))$ y las pendientes obtenidas: **Recta Tangente:** $$y - \ln(3) = \frac{1}{3}(x - 2)$$ Podemos expresarla de forma explícita: $$y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \ln(3)$$ **Recta Normal:** $$y - \ln(3) = -3(x - 2)$$ De forma explícita: $$y = -3x + 6 + \ln(3)$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Tangente: } y = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3} + \ln(3) \quad \text{Normal: } y = -3x + 6 + \ln(3)}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\{x\\le 0:\\frac{-x}{x-1}, x>0:\\ln(1+x)\\}", "color": "#2563eb" }, { "id": "P", "latex": "(2, \\ln(3))", "color": "#111827" }, { "id": "tangente", "latex": "y-\\ln(3)=\\frac{1}{3}(x-2)", "color": "#ef4444" }, { "id": "normal", "latex": "y-\\ln(3)=-3(x-2)", "color": "#16a34a" } ], "bounds": { "left": -2, "right": 6, "bottom": -2, "top": 4 } } }