Posición relativa de rectas y plano que las contiene

**a) Estudia la posición relativa de $r$ y $s$. (1.25 puntos)** Primero, extraemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, que está expresada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x - 2}{-2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 0}{-2}$$ De aquí obtenemos: - Punto: $P_r(2, 1, 0)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (-2, 1, -2)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

La recta $s$ viene dada como intersección de dos planos. Para obtener su vector director $\vec{v}_s$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de ambos planos: $$\vec{n}_1 = (1, 2, 0), \quad \vec{n}_2 = (0, 2, 1)$$ $$\vec{v}_s = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus: $$\vec{v}_s = (2\cdot 1 - 0\cdot 2)\mathbf{i} - (1\cdot 1 - 0\cdot 0)\mathbf{j} + (1\cdot 2 - 2\cdot 0)\mathbf{k}$$ $$\vec{v}_s = 2\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 2\mathbf{k} = (2, -1, 2)$$ Para obtener un punto $P_s$, fijamos una coordenada, por ejemplo $y = 0$, en el sistema de $s$: $$\begin{cases} x + 2(0) = 3 \Rightarrow x = 3 \\ 2(0) + z = 2 \Rightarrow z = 2 \end{cases}$$ Por tanto: - Punto: $P_s(3, 0, 2)$ - Vector director: $\vec{v}_s = (2, -1, 2)$ Notamos que $\vec{v}_r = (-2, 1, -2)$ y $\vec{v}_s = (2, -1, 2)$ son proporcionales (de hecho, $\vec{v}_r = -1 \cdot \vec{v}_s$), lo que indica que las rectas son **paralelas o coincidentes**.

Para distinguir entre paralelas y coincidentes, comprobamos si el punto $P_r(2, 1, 0)$ pertenece a la recta $s$ sustituyéndolo en sus ecuaciones: $$s \equiv \begin{cases} x + 2y = 3 \\ 2y + z = 2 \end{cases}$$ Sustituimos $x=2, y=1, z=0$: 1) $2 + 2(1) = 4 \neq 3$ (No se cumple la primera ecuación) Como el punto de $r$ no pertenece a $s$ y los vectores directores son proporcionales, concluimos la posición relativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ son paralelas}}$$

**b) Calcula, si es posible, el plano que contiene a $r$ y a $s$. (1.25 puntos)** Dado que las rectas son paralelas, determinan un único plano $\pi$. Para definir este plano necesitamos: 1. Un punto del plano: Usaremos $P_r(2, 1, 0)$. 2. Un vector director: Usaremos el de las rectas, $\vec{u} = \vec{v}_s = (2, -1, 2)$. 3. Un segundo vector director no paralelo al anterior: Usaremos el vector que une un punto de cada recta, $\vec{w} = \vec{P_r P_s}$. Calculamos $\vec{w}$: $$\vec{w} = P_s - P_r = (3 - 2, 0 - 1, 2 - 0) = (1, -1, 2)$$ Ahora hallamos el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_{\pi} = \vec{u} \times \vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos: $$\vec{n}_{\pi} = [(-1)(2) - (2)(-1)]\mathbf{i} - [(2)(2) - (2)(1)]\mathbf{j} + [(2)(-1) - (-1)(1)]\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_{\pi} = (-2 + 2)\mathbf{i} - (4 - 2)\mathbf{j} + (-2 + 1)\mathbf{k} = (0, -2, -1)$$ Podemos usar como vector normal $\vec{n} = (0, 2, 1)$ para simplificar los signos.

La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Usando el vector normal $\vec{n}(0, 2, 1)$: $$0x + 2y + 1z + D = 0 \Rightarrow 2y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $P_r(2, 1, 0)$ pertenezca al plano: $$2(1) + 0 + D = 0 \Rightarrow 2 + D = 0 \Rightarrow D = -2$$ La ecuación del plano es $2y + z - 2 = 0$. 💡 **Tip:** Observa que esta es precisamente una de las ecuaciones que definía a la recta $s$. Esto es lógico, ya que la recta $s$ es la intersección de este plano con $x + 2y = 3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi \equiv 2y + z = 2}$$