Simetría y Distancia de un Punto a un Plano

**a) Halla el simétrico del punto $P$ respecto al plano $\pi$. (1.25 puntos)** Para hallar el punto simétrico $P'$ de $P$ respecto a un plano $\pi$, el primer paso es construir una recta $r$ que pase por $P$ y sea perpendicular al plano. El vector normal del plano $\pi \equiv x - y + z + 1 = 0$ es: $$\vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$$ Como la recta $r$ debe ser perpendicular al plano, su vector director $\vec{v}_r$ coincidirá con el vector normal del plano: $$\vec{v}_r = \vec{n}_{\pi} = (1, -1, 1)$$ Utilizando el punto $P(1, 0, 1)$, escribimos la ecuación de la recta $r$ en forma paramétrica: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $(A, B, C)$.

El punto de intersección $M$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$ es el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. Para hallarlo, sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(1 + \lambda) - (-\lambda) + (1 + \lambda) + 1 = 0$$ Operamos para hallar el valor del parámetro $\lambda$: $$1 + \lambda + \lambda + 1 + \lambda + 1 = 0$$ $$3\lambda + 3 = 0 \implies 3\lambda = -3 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas de $M$: $$M = (1 + (-1), -(-1), 1 + (-1)) = (0, 1, 0)$$ $$\boxed{M(0, 1, 0)}$$

Puesto que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$, se cumple la relación vectorial: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Siendo $P' = (x', y', z')$, sustituimos los valores conocidos: $$(x', y', z') = 2(0, 1, 0) - (1, 0, 1)$$ $$(x', y', z') = (0, 2, 0) - (1, 0, 1)$$ $$(x', y', z') = (-1, 2, -1)$$ 💡 **Tip:** El punto simétrico siempre se encuentra a la misma distancia del plano que el punto original, pero en el lado opuesto siguiendo la línea perpendicular. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(-1, 2, -1)}$$

**b) Halla la distancia del punto $P$ al plano $\pi$. (1.25 puntos)** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, aplicamos la fórmula directa: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Dados $P(1, 0, 1)$ y $\pi \equiv 1x - 1y + 1z + 1 = 0$, sustituimos: $$d(P, \pi) = \frac{|1(1) - 1(0) + 1(1) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}}$$ Calculamos el numerador y el denominador: $$d(P, \pi) = \frac{|1 - 0 + 1 + 1|}{\sqrt{1 + 1 + 1}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ Racionalizamos multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{3}$: $$d(P, \pi) = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$ 💡 **Tip:** La distancia de $P$ al plano coincide con el módulo del vector $\vec{PM}$ que calculamos en el apartado anterior. ✅ **Resultado (distancia):** $$\boxed{d(P, \pi) = \sqrt{3} \text{ unidades}}$$