Problema de precios en una cafetería

**a) Calcula, de forma razonada, el precio total de dos cafés, una tostada y tres zumos de naranja. (1.5 puntos)** En primer lugar, definimos las variables para representar los precios unitarios de cada producto: - $c$: precio de un café (€). - $t$: precio de una tostada (€). - $z$: precio de un zumo de naranja (€). A partir del enunciado, planteamos las ecuaciones correspondientes a las dos combinaciones de compra dadas: 1. $3c + t + 2z = 7,50$ 2. $4c + t + z = 7,20$ Se nos pide calcular el valor de la expresión: $2c + t + 3z$. 💡 **Tip:** Aunque tenemos 3 incógnitas y solo 2 ecuaciones (lo que significa que el sistema es compatible indeterminado y no tiene solución única para cada variable), podemos encontrar el valor de combinaciones específicas de dichas variables manipulando las ecuaciones.

Para encontrar una relación útil, restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar la variable $t$: $$(3c + t + 2z) - (4c + t + z) = 7,50 - 7,20$$ $$-c + z = 0,30$$ De aquí obtenemos que: $$z - c = 0,30 \implies z = c + 0,30$$ Esto nos indica que el precio de un zumo es $0,30$ € superior al de un café.

Queremos hallar el precio de $2c + t + 3z$. Vamos a comparar esta expresión con la primera ecuación ($3c + t + 2z$): Si llamamos $P$ al precio buscado: $$P - (3c + t + 2z) = (2c + t + 3z) - (3c + t + 2z)$$ $$P - 7,50 = -c + z$$ Como sabemos del paso anterior que $z - c = 0,30$, sustituimos: $$P - 7,50 = 0,30$$ $$P = 7,50 + 0,30 = 7,80$$ ✅ **Resultado apartado a):** $$\boxed{7,80 \text{ €}}$$

**b) ¿El precio de un zumo de naranja podría ser de 2 €? Razona la respuesta. (1 punto)** Para verificar si $z = 2$ € es posible, debemos comprobar si el resto de precios resultantes son coherentes (es decir, mayores que cero). Si $z = 2$, usamos la relación hallada anteriormente $z - c = 0,30$: $$2 - c = 0,30 \implies c = 2 - 0,30 = 1,70 \text{ €}$$ Ahora, sustituimos $z = 2$ y $c = 1,70$ en la primera ecuación original para hallar el precio de la tostada ($t$): $$3(1,70) + t + 2(2) = 7,50$$ $$5,10 + t + 4,00 = 7,50$$ $$9,10 + t = 7,50$$ $$t = 7,50 - 9,10 = -1,60 \text{ €}$$ Como el precio de un producto no puede ser negativo ($t = -1,60 < 0$), concluimos que esa situación es imposible. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, todas las variables que representan precios o cantidades físicas deben ser no negativas ($ \ge 0 $). ✅ **Resultado apartado b):** $$\boxed{\text{No, porque el precio de la tostada resultaría negativo (-1,60 €).}}$$