Invertibilidad de una matriz con parámetros y cálculo de inversa

**a) ¿Para qué valores de $m$ existe la inversa de la matriz $A$? Razona la respuesta. (1.5 puntos)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa (es regular) si y solo si su determinante es distinto de cero, es decir, $|A| \neq 0$. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} m & m & m \\ m & m+1 & m \\ m & m & m+2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [m(m+1)(m+2) + m \cdot m \cdot m + m \cdot m \cdot m] - [m(m+1)m + m \cdot m \cdot m + m(m+2)m]$$ Operamos cada término: - $m(m+1)(m+2) = m(m^2 + 3m + 2) = m^3 + 3m^2 + 2m$ - $m \cdot m \cdot m = m^3$ - $m(m+1)m = m^3 + m^2$ - $m(m+2)m = m^3 + 2m^2$ Sustituimos en la expresión del determinante: $$|A| = (m^3 + 3m^2 + 2m + m^3 + m^3) - (m^3 + m^2 + m^3 + m^3 + 2m^2)$$ $$|A| = (3m^3 + 3m^2 + 2m) - (3m^3 + 3m^2)$$ $$|A| = 2m$$ 💡 **Tip:** El determinante también se podría haber calculado restando la primera fila a la segunda y a la tercera ($F_2 - F_1$ y $F_3 - F_1$), lo que facilitaría mucho los cálculos al obtener una matriz triangular inferior. $$\boxed{|A| = 2m}$$

Para que exista la inversa, el determinante debe ser distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies 2m \neq 0 \implies m \neq 0$$ Por lo tanto, la matriz $A$ tiene inversa para cualquier valor real de $m$ excepto para $m = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe } A^{-1} \iff m \in \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

**b) Para $m = 1$, halla $\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1}$. (1 punto)** Primero, recordamos una propiedad fundamental de la inversión de matrices: si una matriz $A$ es invertible y $k$ es un número real no nulo, entonces: $$(k \cdot A)^{-1} = \frac{1}{k} \cdot A^{-1}$$ En nuestro caso, con $k = \frac{1}{2}$: $$\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = \frac{1}{1/2} \cdot A^{-1} = 2 A^{-1}$$ Por tanto, el problema se reduce a calcular $A^{-1}$ para $m=1$ y multiplicar el resultado por $2$. 💡 **Tip:** Siempre es más sencillo trabajar con la matriz original $A$ y aplicar propiedades que operar con fracciones dentro de la matriz si no es necesario.

Para $m = 1$, la matriz es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Sabemos del apartado anterior que $|A| = 2m$. Para $m=1$, **$|A| = 2 \cdot 1 = 2$**. Calculamos la matriz de los adjuntos $(\text{Adj}(A))$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 1 = 5$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(3 - 1) = -2$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 1 = 2$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 1) = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como es una matriz simétrica, su traspuesta es igual a ella misma: $(\text{Adj}(A))^t = \text{Adj}(A)$. La inversa de $A$ es: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^t = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Aplicamos la relación obtenida en el paso 3: $$\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = 2 A^{-1}$$ $$\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = 2 \cdot \left[ \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \right]$$ $$\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\left(\frac{1}{2}A\right)^{-1} = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -1 \\ -2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$