Área de un recinto limitado por una función exponencial y una recta

**a) Esboza el recinto limitado por la gráfica de $f$ y las rectas $x = 2, y = x$. (1 punto)** Para esbozar el recinto, primero identificamos las funciones que lo delimitan: 1. $f(x) = xe^x$ (curva exponencial). 2. $g(x) = x$ (recta bisectriz del primer cuadrante). 3. $x = 2$ (recta vertical). Buscamos los puntos de intersección entre $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0, 2]$: $$xe^x = x \implies xe^x - x = 0 \implies x(e^x - 1) = 0$$ Esto nos da dos posibles soluciones: - $x = 0$ - $e^x - 1 = 0 \implies e^x = 1 \implies x = 0$ Ambas funciones coinciden únicamente en el punto $(0, 0)$. Además, como para $x \gt 0$, $e^x \gt 1$, se cumple que $xe^x \gt x$. Por tanto, en el intervalo $(0, 2]$, la gráfica de $f(x)$ está siempre por encima de la recta $y = x$. 💡 **Tip:** Para comparar funciones, basta con evaluar en un punto intermedio. Por ejemplo, en $x=1$, $f(1)=e \approx 2.71$ y $g(1)=1$. Como $2.71 \gt 1$, la curva está arriba.

Representamos gráficamente la función $f(x) = xe^x$, la recta $y = x$ y el límite vertical $x = 2$. El recinto es la región sombreada comprendida entre ellas desde $x = 0$ hasta $x = 2$.

**b) Determina el área del recinto anterior. (1.5 puntos)** El área $A$ del recinto se calcula mediante la integral definida de la función superior menos la función inferior en el intervalo de integración $[0, 2]$: $$A = \int_{0}^{2} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{0}^{2} (xe^x - x) \, dx$$ Por la propiedad de linealidad de la integral: $$A = \int_{0}^{2} xe^x \, dx - \int_{0}^{2} x \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área entre dos curvas $f(x)$ y $g(x)$ en $[a, b]$ es $\int_a^b |f(x) - g(x)| dx$.

Para resolver $\int xe^x \, dx$ utilizamos el método de **integración por partes**. Fórmula: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ Elegimos: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = e^x \, dx \implies v = e^x$ Aplicando la fórmula: $$\int xe^x \, dx = xe^x - \int e^x \, dx = xe^x - e^x = (x-1)e^x$$ La integral de la recta es inmediata: $$\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$$ Por tanto, la primitiva de nuestra función es: $$F(x) = (x-1)e^x - \frac{x^2}{2}$$ 💡 **Tip:** La regla mnemotécnica "ALPES" nos ayuda a elegir $u$. Las funciones algebraicas ($x$) van antes que las exponenciales ($e^x$).

Calculamos el área evaluando la primitiva en los límites de integración $0$ y $2$: $$A = \left[ (x-1)e^x - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2}$$ Evaluamos en $x = 2$: $$F(2) = (2-1)e^2 - \frac{2^2}{2} = 1 \cdot e^2 - 2 = e^2 - 2$$ Evaluamos en $x = 0$: $$F(0) = (0-1)e^0 - \frac{0^2}{2} = -1 \cdot 1 - 0 = -1$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(0) = (e^2 - 2) - (-1) = e^2 - 2 + 1 = e^2 - 1$$ El valor numérico aproximado es $A \approx 7.389 - 1 = 6.389$ unidades cuadradas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = e^2 - 1 \text{ u}^2}$$ 💡 **Tip:** Al aplicar Barrow, ten mucho cuidado con los signos negativos, especialmente al restar el valor del límite inferior.