Estudio de una función con valor absoluto e integral definida

**a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1.25 puntos)** Primero, debemos redefinir la función $f(x)$ eliminando el valor absoluto. Sabemos que: $$|x-1| = \begin{cases} -(x-1) & \text{si } x < 1 \\ x-1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ Sumando $x^2$ a cada rama, la función queda definida a trozos como: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - x + 1 & \text{si } x < 1 \\ x^2 + x - 1 & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El punto donde cambia el signo del valor absoluto es aquel que anula su argumento ($x-1=0 \implies x=1$). Es fundamental separar la función correctamente antes de derivar.

Para estudiar el crecimiento, necesitamos la derivada. Antes de derivar, comprobamos la continuidad y derivabilidad en el punto de salto $x=1$. **Continuidad en $x=1$:** - $f(1) = 1^2 + 1 - 1 = 1$ - $\lim_{x \to 1^-} (x^2 - x + 1) = 1 - 1 + 1 = 1$ - $\lim_{x \to 1^+} (x^2 + x - 1) = 1 + 1 - 1 = 1$ La función es **continua** en $x=1$. **Derivabilidad:** Derivamos las ramas para $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} 2x - 1 & \text{si } x < 1 \\ 2x + 1 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Calculamos las derivadas laterales en $x=1$: - $f'(1^-) = 2(1) - 1 = 1$ - $f'(1^+) = 2(1) + 1 = 3$ Como $f'(1^-) \neq f'(1^+)$, la función **no es derivable en $x=1$** (hay un punto anguloso). 💡 **Tip:** Aunque no sea derivable en un punto, la función puede cambiar su monotonía en él o en sus puntos críticos (donde $f'(x)=0$).

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero en cada rama: 1. Rama $x < 1$: $2x - 1 = 0 \implies x = 1/2$. Como $1/2 < 1$, es un punto crítico válido. 2. Rama $x > 1$: $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$. Como $-1/2$ no es mayor que 1, lo descartamos. Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos determinados por $x=1/2$ y el punto de no derivabilidad $x=1$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & \nexists & + \\ f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \text{p. anguloso} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1/2)$, $f'(x) < 0$ (por ejemplo, $f'(0) = -1$), la función **decrece**. - En $(1/2, 1)$, $f'(x) > 0$ (por ejemplo, $f'(0.75) = 0.5$), la función **crece**. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) > 0$ (por ejemplo, $f'(2) = 5$), la función **crece**. Como la función es continua en $x=1$ y crece a ambos lados, podemos unir los intervalos de crecimiento. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, 1/2) \quad \text{Creciente: } (1/2, +\infty)}$$

**b) Calcula $\displaystyle \int_{0}^{2} f(x) \, dx$. (1.25 puntos)** Dado que la función cambia de expresión en $x=1$, debemos dividir la integral en dos partes usando la propiedad de aditividad del intervalo: $$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{2} f(x) \, dx$$ Sustituimos cada rama: $$\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} (x^2 - x + 1) \, dx + \int_{1}^{2} (x^2 + x - 1) \, dx$$ 💡 **Tip:** Siempre que integres una función definida a trozos sobre un intervalo que contenga el punto de salto, debes separar la integral en ese punto.

Calculamos cada integral por separado aplicando la Regla de Barrow: 1. **Primera parte:** $$\int_{0}^{1} (x^2 - x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) - 0 = \frac{2 - 3 + 6}{6} = \frac{5}{6}$$ 2. **Segunda parte:** $$\int_{1}^{2} (x^2 + x - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} - x \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en los límites: $$= \left( \frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1^3}{3} + \frac{1^2}{2} - 1 \right) = \left( \frac{8}{3} + 2 - 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 \right)$$ $$= \frac{8}{3} - \left( \frac{2 + 3 - 6}{6} \right) = \frac{8}{3} - \left( -\frac{1}{6} \right) = \frac{16}{6} + \frac{1}{6} = \frac{17}{6}$$ Sumamos ambos resultados: $$I = \frac{5}{6} + \frac{17}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\int_{0}^{2} f(x) \, dx = \frac{11}{3}}$$