Parámetros de una función racional y rectas tangente y normal

**a) Halla $a$ y $b$ sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(2, 3)$ y tiene una asíntota oblicua cuya pendiente vale $-4$.** Si la gráfica pasa por el punto $(2, 3)$, significa que $f(2) = 3$. Sustituimos $x = 2$ en la expresión de la función e igualamos a $3$: $$f(2) = \frac{a(2)^2 + b}{a - 2} = 3 \implies \frac{4a + b}{a - 2} = 3$$ Multiplicamos ambos lados por $(a - 2)$ para eliminar el denominador: $$4a + b = 3(a - 2) \implies 4a + b = 3a - 6$$ Agrupamos las variables a un lado para obtener nuestra primera ecuación: $$\boxed{a + b = -6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de $f$, se debe cumplir obligatoriamente que $f(x_0) = y_0$.

La pendiente $m$ de una asíntota oblicua $y = mx + n$ se calcula mediante el límite: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}$$ Sustituimos nuestra función: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{ax^2 + b}{a - x}}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + b}{x(a - x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{ax^2 + b}{ax - x^2}$$ Al ser un límite de un cociente de polinomios del mismo grado ($2$), el resultado es el cociente de los coeficientes principales: $$m = \frac{a}{-1} = -a$$ Como el enunciado nos dice que la pendiente es $-4$, igualamos: $$-a = -4 \implies \mathbf{a = 4}$$ 💡 **Tip:** Para funciones racionales donde el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, siempre existe asíntota oblicua.

Ahora que conocemos $a = 4$, sustituimos este valor en la ecuación que obtuvimos en el primer paso ($a + b = -6$): $$4 + b = -6 \implies b = -6 - 4 \implies \mathbf{b = -10}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 4, \quad b = -10}$$

**b) Para $a = 2$ y $b = 3$, calcula las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** Con los nuevos valores, la función queda definida como: $$f(x) = \frac{2x^2 + 3}{2 - x}$$ Primero, calculamos la ordenada del punto de tangencia evaluando $f(1)$: $$y_0 = f(1) = \frac{2(1)^2 + 3}{2 - 1} = \frac{2 + 3}{1} = 5$$ El punto de tangencia es **$(1, 5)$**.

Para hallar las pendientes de las rectas, necesitamos derivar $f(x)$ usando la regla del cociente: $$\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ Donde $u = 2x^2 + 3 \implies u' = 4x$ y $v = 2 - x \implies v' = -1$: $$f'(x) = \frac{(4x)(2 - x) - (2x^2 + 3)(-1)}{(2 - x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{8x - 4x^2 + 2x^2 + 3}{(2 - x)^2} = \frac{-2x^2 + 8x + 3}{(2 - x)^2}$$ Calculamos la pendiente de la tangente ($m_t$) en $x = 1$: $$m_t = f'(1) = \frac{-2(1)^2 + 8(1) + 3}{(2 - 1)^2} = \frac{-2 + 8 + 3}{1^2} = 9$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a la curva en un punto es el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto.

Para la **recta tangente**, usamos la fórmula punto-pendiente $y - y_0 = m_t(x - x_0)$: $$y - 5 = 9(x - 1) \implies y = 9x - 9 + 5 \implies y = 9x - 4$$ Para la **recta normal**, la pendiente es la inversa y opuesta de la tangente ($m_n = -1/m_t$): $$m_n = -\frac{1}{9}$$ Usamos de nuevo la fórmula punto-pendiente: $$y - 5 = -\frac{1}{9}(x - 1) \implies 9y - 45 = -x + 1 \implies x + 9y - 46 = 0$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{Tangente: } y = 9x - 4, \quad \text{Normal: } x + 9y - 46 = 0}$$