Límite con parámetro y Regla de L'Hôpital

**Determina el valor del parámetro $a$ para que el siguiente límite sea finito y calcula su valor: $L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x + 1}{\ln(x + 1)} - \frac{a}{x} \right)$** En primer lugar, combinamos ambos términos en una única fracción para identificar la forma indeterminada: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{x(x + 1) - a \ln(x + 1)}{x \ln(x + 1)}$$ Al evaluar el límite en $x = 0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$: - **Numerador**: $0(0 + 1) - a \ln(1) = 0 - 0 = 0$ - **Denominador**: $0 \cdot \ln(1) = 0 \cdot 0 = 0$ 💡 **Tip:** Antes de aplicar la regla de L'Hôpital, siempre debemos verificar que el límite presenta una indeterminación de la forma $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$.

Como tenemos la indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital**, derivando el numerador y el denominador por separado: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[x^2 + x - a \ln(x + 1)]}{\frac{d}{dx}[x \ln(x + 1)]}$$ Calculamos las derivadas: - **Derivada del numerador**: $2x + 1 - a \cdot \frac{1}{x+1}$ - **Derivada del denominador**: $1 \cdot \ln(x+1) + x \cdot \frac{1}{x+1} = \ln(x+1) + \frac{x}{x+1}$ Por tanto: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{2x + 1 - \frac{a}{x+1}}{\ln(x+1) + \frac{x}{x+1}}$$ Si evaluamos en $x = 0$, el denominador es $\ln(1) + 0 = 0$. Para que el límite sea **finito**, el numerador también debe ser cero en $x = 0$ (de lo contrario, el límite sería infinito): $$2(0) + 1 - \frac{a}{0+1} = 0 \implies 1 - a = 0 \implies \mathbf{a = 1}$$ 💡 **Tip:** Si el denominador de un límite tiende a 0, la única forma de que el resultado sea un número real (finito) es que el numerador también tienda a 0 para mantener la indeterminación y poder seguir operando.

Sustituimos $a = 1$ en la expresión derivada y volvemos a evaluar: $$L = \lim_{x \to 0} \frac{2x + 1 - \frac{1}{x+1}}{\ln(x+1) + \frac{x}{x+1}} = \frac{2(0) + 1 - 1}{0 + 0} = \frac{0}{0}$$ Aplicamos la **Regla de L'Hôpital por segunda vez**: - **Nueva derivada del numerador**: $2 - \left( -\frac{1}{(x+1)^2} \right) = 2 + \frac{1}{(x+1)^2}$ - **Nueva derivada del denominador**: $\frac{1}{x+1} + \frac{1(x+1) - x(1)}{(x+1)^2} = \frac{1}{x+1} + \frac{1}{(x+1)^2}$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$L = \frac{2 + \frac{1}{(0+1)^2}}{\frac{1}{0+1} + \frac{1}{(0+1)^2}} = \frac{2 + 1}{1 + 1} = \frac{3}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad L = \frac{3}{2}}$$