Punto equidistante en una recta y área de un triángulo en el espacio

**a) Calcula un punto que esté en $r$ y equidiste de $B$ y $C$. (1.25 puntos)** Cualquier punto $P$ que pertenezca a la recta $r$ debe cumplir sus ecuaciones paramétricas. Por tanto, podemos expresar un punto genérico $P$ en función del parámetro $\lambda$: $$P(-\lambda, 1 + 2\lambda, -1 + \lambda)$$ La condición de que $P$ equidiste de $B(-1, 0, -1)$ y $C(0, 1, -3)$ significa que las distancias desde $P$ hasta $B$ y hasta $C$ deben ser iguales: $$d(P, B) = d(P, C)$$ Para facilitar los cálculos, trabajaremos con el cuadrado de las distancias para eliminar las raíces cuadradas: $$d(P, B)^2 = d(P, C)^2$$

Calculamos los vectores $\vec{PB}$ y $\vec{PC}$: $$\vec{PB} = B - P = (-1 - (-\lambda), 0 - (1 + 2\lambda), -1 - (-1 + \lambda)) = (-1 + \lambda, -1 - 2\lambda, -\lambda)$$ $$\vec{PC} = C - P = (0 - (-\lambda), 1 - (1 + 2\lambda), -3 - (-1 + \lambda)) = (\lambda, -2\lambda, -2 - \lambda)$$ Ahora igualamos el módulo al cuadrado de ambos vectores: $$( -1 + \lambda )^2 + ( -1 - 2\lambda )^2 + ( -\lambda )^2 = ( \lambda )^2 + ( -2\lambda )^2 + ( -2 - \lambda )^2$$ Desarrollamos las identidades notables: $$(1 - 2\lambda + \lambda^2) + (1 + 4\lambda + 4\lambda^2) + \lambda^2 = \lambda^2 + 4\lambda^2 + (4 + 4\lambda + \lambda^2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ y que el cuadrado de un número negativo es siempre positivo.

Simplificamos ambos miembros de la ecuación: $$6\lambda^2 + 2\lambda + 2 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 4$$ Restamos $6\lambda^2$ en ambos lados y agrupamos términos en $\lambda$: $$2\lambda + 2 = 4\lambda + 4$$ $$2 - 4 = 4\lambda - 2\lambda$$ $$-2 = 2\lambda \implies \lambda = -1$$ Sustituimos el valor de $\lambda = -1$ en las coordenadas del punto genérico $P$: $$x = -(-1) = 1$$ $$y = 1 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$$ $$z = -1 + (-1) = -2$$ ✅ **Resultado del punto:** $$\boxed{P(1, -1, -2)}$$

**b) Siendo $D(1, -1, -2)$, calcula el área del triángulo con vértices en los puntos $B, C$ y $D$. (1.25 puntos)** Notamos que el punto $D$ coincide con el punto $P$ hallado en el apartado anterior. Para calcular el área del triángulo formado por $B(-1, 0, -1)$, $C(0, 1, -3)$ y $D(1, -1, -2)$, utilizaremos la fórmula basada en el producto vectorial: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{BC} \times \vec{BD}|$$ Calculamos primero los vectores con origen en $B$: $$\vec{BC} = C - B = (0 - (-1), 1 - 0, -3 - (-1)) = (1, 1, -2)$$ $$\vec{BD} = D - B = (1 - (-1), -1 - 0, -2 - (-1)) = (2, -1, -1)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $V_1, V_2, V_3$ es la mitad del área del paralelogramo definido por los vectores que parten de uno de sus vértices.

Realizamos el producto vectorial $\vec{BC} \times \vec{BD}$ mediante el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{w} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -2 \\ 2 & -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{w} = \vec{i}(-1 - 2) - \vec{j}(-1 - (-4)) + \vec{k}(-1 - 2)$$ $$\vec{w} = -3\vec{i} - 3\vec{j} - 3\vec{k}$$ El vector resultante es $(-3, -3, -3)$.

Calculamos el módulo del vector resultante: $$|\vec{BC} \times \vec{BD}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9 + 9} = \sqrt{27}$$ Podemos simplificar el radical: $$\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3\sqrt{3}$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ unidades}^2$$ Si aproximamos el valor: $$\text{Área} \approx 2.598 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado del área:** $$\boxed{\text{Área} = \dfrac{3\sqrt{3}}{2} \text{ u}^2}$$