Planos paralelos y punto simétrico respecto a un plano

**a) Halla las ecuaciones de los planos paralelos a $\pi$ cuya distancia a éste sea $\sqrt{6}$ unidades. (1.25 puntos)** Dos planos son paralelos si sus vectores normales son proporcionales. El plano dado es $\pi \equiv 2x - y + z = 0$, por lo que su vector normal es $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Cualquier plano $\pi'$ paralelo a $\pi$ tendrá una ecuación de la forma: $$\pi' \equiv 2x - y + z + D = 0$$ Donde $D$ es el término independiente que debemos determinar. 💡 **Tip:** Recuerda que si dos planos son paralelos, sus coeficientes $A$, $B$ y $C$ en la ecuación general $Ax + By + Cz + D = 0$ son iguales (o proporcionales).

La distancia entre dos planos paralelos $\pi_1 \equiv Ax+By+Cz+D_1=0$ y $\pi_2 \equiv Ax+By+Cz+D_2=0$ viene dada por la fórmula: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, el plano original tiene $D_1 = 0$ y el paralelo tiene $D_2 = D$: $$d(\pi, \pi') = \frac{|D - 0|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|D|}{\sqrt{4 + 1 + 1}} = \frac{|D|}{\sqrt{6}}$$ Igualamos esta expresión a la distancia requerida, que es $\sqrt{6}$: $$\frac{|D|}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \implies |D| = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$$ Esto nos da dos posibles valores para $D$: $$D = 6 \quad \text{y} \quad D = -6$$ 💡 **Tip:** El valor absoluto indica que existen dos planos situados a la misma distancia, uno a cada lado del plano original.

Sustituyendo los valores de $D$ encontrados en la ecuación general del plano paralelo, obtenemos las dos soluciones: ✅ **Resultado (planos paralelos):** $$\boxed{\begin{cases} \pi_1 \equiv 2x - y + z + 6 = 0 \\ \pi_2 \equiv 2x - y + z - 6 = 0 \end{cases}}$$

**b) Halla el simétrico del punto $P$ respecto al plano $\pi$. (1.25 puntos)** Para hallar el simétrico $P'$ del punto $P(1, 2, 6)$ respecto al plano $\pi \equiv 2x - y + z = 0$, primero trazamos una recta $r$ que pase por $P$ y sea perpendicular a $\pi$. El vector director de esta recta será el vector normal del plano, $\vec{v_r} = \vec{n} = (2, -1, 1)$. Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ son: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 6 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar el simétrico, no uses una fórmula directa. Es mejor hallar la proyección ortogonal (punto medio $M$) y luego aplicar la definición de punto medio.

El punto $M$ es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta en la ecuación del plano: $$2(1 + 2\lambda) - (2 - \lambda) + (6 + \lambda) = 0$$ Desarrollamos y resolvemos para $\lambda$: $$2 + 4\lambda - 2 + \lambda + 6 + \lambda = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies 6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$$ Ahora, calculamos las coordenadas de $M$ sustituyendo $\lambda = -1$ en la recta: $$M = (1 + 2(-1), 2 - (-1), 6 + (-1)) = (-1, 3, 5)$$ El punto **$M(-1, 3, 5)$** es la proyección de $P$ sobre el plano y es, a su vez, el punto medio del segmento $PP'$.

Si $M$ es el punto medio de $P$ y $P'$, se cumple que: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies P' = 2M - P$$ Llamamos $P'(x', y', z')$. Sustituimos los valores conocidos: $$x' = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3$$ $$y' = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$$ $$z' = 2(5) - 6 = 10 - 6 = 4$$ Por tanto, el simétrico de $P$ respecto al plano $\pi$ es el punto **$P'(-3, 4, 4)$**. ✅ **Resultado (punto simétrico):** $$\boxed{P'(-3, 4, 4)}$$