Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discute el sistema según los valores de $m$. (1.75 puntos)** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & m & m \\ 1 & 2m & m+1 \\ 2 & m & m \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & m & m & 1 \\ 1 & 2m & m+1 & 1 \\ 2 & m & m & 2 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema mediante el **Teorema de Rouché-Capelli**, calculamos el determinante de la matriz $A$ para saber cuándo su rango es máximo (3). 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli establece que el sistema es compatible si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*)$. Si además este rango coincide con el número de incógnitas, es determinado (SCD); si es menor, es indeterminado (SCI).

Aplicamos la regla de Sarrus para hallar $|A|$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & m & m \\ 1 & 2m & m+1 \\ 2 & m & m \end{vmatrix}$$ $$|A| = (1 \cdot 2m \cdot m) + (m \cdot (m+1) \cdot 2) + (m \cdot 1 \cdot m) - [ (2 \cdot 2m \cdot m) + (m \cdot m \cdot 1) + (m \cdot (m+1) \cdot 1) ]$$ $$|A| = (2m^2) + (2m^2 + 2m) + (m^2) - [ 4m^2 + m^2 + m^2 + m ]$$ $$|A| = 5m^2 + 2m - (6m^2 + m) = -m^2 + m$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-m^2 + m = 0 \implies m(-m + 1) = 0 \implies \begin{cases} m = 0 \\ m = 1 \end{cases}$$ $$\boxed{|A| = -m^2 + m}$$

Si $m \neq 0$ y $m \neq 1$, entonces el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero: $$|A| \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 (número de filas) y $A$ está contenida en $A^*$, entonces: $$\text{rg}(A^*) = 3$$ Al coincidir los rangos con el número de incógnitas ($n=3$): ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Si $m = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right)$$ Sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Para hallar el rango de $A^*$, observamos que la fila $R_3$ es el doble de la fila $R_1$ ($R_3 = 2R_1$). Por tanto, la tercera fila no aporta información linealmente independiente y el rango no puede ser 3. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3 \text{ (núm. incógnitas)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 0, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Si $m = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Estudiamos el rango de $A^*$ comprobando si algún menor de orden 3 que incluya la columna de términos constantes es distinto de cero. Sin embargo, observamos que $R_3 = 3R_1 - R_2$: $3(1, 1, 1, 1) - (1, 2, 2, 1) = (2, 1, 1, 2)$. Como las filas son linealmente dependientes, $\text{rg}(A^*) = 2$. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } m = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**b) Resuelve el sistema, si es posible, para $m = 1$. (0.75 puntos)** Para $m=1$, el sistema es Compatible Indeterminado. Las ecuaciones son: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + 2y + 2z = 1 \\ 2x + y + z = 2 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación dependiente (por ejemplo, la tercera) y tratar una de las incógnitas como parámetro. Sea $z = \lambda$. 1) $x + y = 1 - \lambda$ 2) $x + 2y = 1 - 2\lambda$ Restamos la ecuación (1) a la (2): $$(x + 2y) - (x + y) = (1 - 2\lambda) - (1 - \lambda)$$ $$y = -\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación: $$x + (-\lambda) = 1 - \lambda \implies x = 1$$ 💡 **Tip:** En sistemas SCI, siempre debemos expresar la solución general en función de uno o más parámetros (en este caso $\lambda \in \mathbb{R}$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \quad y = -\lambda, \quad z = \lambda \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$