Propiedades de los determinantes

**a) Calcula razonadamente el determinante de $2A^3$. (0.5 puntos)** Sabemos por el enunciado que $|A| = 5$ y que la matriz $A$ es de orden $n=3$ (tiene 3 filas y 3 columnas). Para calcular $|2A^3|$ aplicamos las siguientes propiedades de los determinantes: 1. **Multiplicación por un escalar**: $|k \cdot M| = k^n \cdot |M|$, donde $n$ es el orden de la matriz cuadrada $M$. En este caso $n=3$. 2. **Determinante de una potencia**: $|M^k| = (|M|)^k$. Aplicando estas propiedades paso a paso: $$|2A^3| = 2^3 \cdot |A^3| = 8 \cdot (|A|)^3$$ Sustituimos el valor conocido $|A| = 5$: $$|2A^3| = 8 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al sacar un número fuera de un determinante de orden $n$, este debe elevarse a la potencia $n$. Es un error común olvidar este exponente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{|2A^3| = 1000}$$

**b) Calcula razonadamente los determinantes $\begin{vmatrix} 2a & -1 & 3 \\ 2b & 1/2 & 3 \\ 2c & -1/2 & 3 \end{vmatrix}$ y $\begin{vmatrix} a & b & c \\ a + 4 & b - 2 & c + 2 \\ a + 1 & b + 1 & c + 1 \end{vmatrix} . (2 puntos)** Para el primer determinante $D_1$, aplicamos las propiedades de linealidad por columnas para intentar que se parezca al determinante de $A$: $$D_1 = \begin{vmatrix} 2a & -1 & 3 \\ 2b & 1/2 & 3 \\ 2c & -1/2 & 3 \end{vmatrix}$$ 1. Sacamos factor común $2$ de la primera columna ($C_1$) y factor común $3$ de la tercera columna ($C_3$): $$D_1 = 2 \cdot 3 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 & 1 \\ b & 1/2 & 1 \\ c & -1/2 & 1 \end{vmatrix} = 6 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 & 1 \\ b & 1/2 & 1 \\ c & -1/2 & 1 \end{vmatrix}$$ 2. Observamos que la segunda columna es proporcional a la de la matriz $A$. Si multiplicamos por $-2$ la columna actual, obtenemos la de $A$ (o si extraemos $-1/2$ de la columna de $A$ obtenemos esta). Extraemos el factor $-\frac{1}{2}$ de la segunda columna ($C_2$): $$D_1 = 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ b & -1 & 1 \\ c & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ El determinante resultante es exactamente $|A| = 5$: $$D_1 = -3 \cdot |A| = -3 \cdot 5 = -15$$ 💡 **Tip:** Un determinante es una forma multilineal; puedes sacar factores comunes de cualquier fila o columna de forma independiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D_1 = -15}$$

Para el segundo determinante $D_2$, utilizaremos operaciones elementales entre filas y la propiedad de la matriz transpuesta: $$D_2 = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a + 4 & b - 2 & c + 2 \\ a + 1 & b + 1 & c + 1 \end{vmatrix}$$ 1. Realizamos operaciones de tipo $F_i \leftarrow F_i - F_j$, que no alteran el valor del determinante: - Restamos la primera fila a la segunda: $F_2 \leftarrow F_2 - F_1$ - Restamos la primera fila a la tercera: $F_3 \leftarrow F_3 - F_1$ $$D_2 = \begin{vmatrix} a & b & c \\ (a+4)-a & (b-2)-b & (c+2)-c \\ (a+1)-a & (b+1)-b & (c+1)-c \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b & c \\ 4 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 2. Extraemos el factor común $2$ de la segunda fila ($F_2$): $$D_2 = 2 \cdot \begin{vmatrix} a & b & c \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ 3. Observamos que la matriz resultante es la transpuesta de $A$ ($A^T$). Como el determinante de una matriz es igual al de su transpuesta ($|M| = |M^T|$): $$D_2 = 2 \cdot |A^T| = 2 \cdot |A| = 2 \cdot 5 = 10$$ 💡 **Tip:** Si al operar con filas o columnas obtienes una matriz donde las filas son las columnas de la original (o viceversa), recuerda que el determinante no varía al trasponer. ✅ **Resultado:** $$\boxed{D_2 = 10}$$