Integral definida de una función con valor absoluto

Para resolver una integral que contiene un valor absoluto, primero debemos identificar en qué intervalos la expresión de su interior es positiva o negativa. Consideramos la función polinómica interna: $$f(x) = x^2 - 3x + 2$$ Buscamos sus raíces resolviendo la ecuación de segundo grado $x^2 - 3x + 2 = 0$: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Las raíces son: $$x_1 = \frac{3-1}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{3+1}{2} = 2$$ Como el coeficiente de $x^2$ es positivo ($1 \gt 0$), la parábola tiene forma de "U". Por tanto: - Es **negativa** entre las raíces: $(1, 2)$. - Es **positiva** fuera de las raíces: $(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$. 💡 **Tip:** Recuerda que $|g(x)| = g(x)$ si $g(x) \ge 0$ y $|g(x)| = -g(x)$ si $g(x) \lt 0$.

Dado que nuestro intervalo de integración es $[1, 3]$, definimos la función a trozos en dicho intervalo aprovechando el estudio del signo anterior: $$|x^2 - 3x + 2| = \begin{cases} -(x^2 - 3x + 2) & \text{si } 1 \le x \le 2 \\ x^2 - 3x + 2 & \text{si } 2 \lt x \le 3 \end{cases}$$ Simplificando la primera rama: $$g(x) = \begin{cases} -x^2 + 3x - 2 & \text{si } 1 \le x \le 2 \\ x^2 - 3x + 2 & \text{si } 2 \lt x \le 3 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Dividir la integral en los puntos donde la función cambia de signo es fundamental para eliminar el valor absoluto.

Utilizamos la propiedad de aditividad de la integral definida para separar el intervalo $[1, 3]$ en el punto de corte $x=2$: $$\int_{1}^{3} |x^2 - 3x + 2| \, dx = \int_{1}^{2} (-x^2 + 3x - 2) \, dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 3x + 2) \, dx$$ Calcularemos cada una por separado aplicando la Regla de Barrow. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "y=|x^2-3x+2|", "color": "#2563eb" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le |x^2-3x+2| \\left\{1 \\le x \\le 3\\right\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": 0, "right": 4, "bottom": -0.5, "top": 2.5 } } }

Calculamos la primitiva de la primera parte: $$\int (-x^2 + 3x - 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en $[1, 2]$: $$I_1 = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} - 2x \right]_{1}^{2}$$ $$I_1 = \left( -\frac{2^3}{3} + \frac{3(2^2)}{2} - 2(2) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + \frac{3(1^2)}{2} - 2(1) \right)$$ $$I_1 = \left( -\frac{8}{3} + 6 - 4 \right) - \left( -\frac{1}{3} + \frac{3}{2} - 2 \right)$$ $$I_1 = \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{-2 + 9 - 12}{6} \right)$$ $$I_1 = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{5}{6} \right) = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$$ $$\boxed{I_1 = \frac{1}{6}}$$

Calculamos la primitiva de la segunda parte: $$\int (x^2 - 3x + 2) \, dx = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** en $[2, 3]$: $$I_2 = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x \right]_{2}^{3}$$ $$I_2 = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3(3^2)}{2} + 2(3) \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} + 2(2) \right)$$ $$I_2 = \left( 9 - \frac{27}{2} + 6 \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 + 4 \right)$$ $$I_2 = \left( 15 - 13.5 \right) - \left( \frac{8}{3} - 2 \right)$$ $$I_2 = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6}$$ $$\boxed{I_2 = \frac{5}{6}}$$

Sumamos los resultados de ambas integrales para obtener el valor total: $$I = I_1 + I_2 = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int_{1}^{3} |x^{2} - 3x + 2| \, dx = 1}$$