Recta tangente y área bajo la curva exponencial

**a) Calcula $a$ para que la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $(a, f(a))$ pase por el origen de coordenadas.** La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $f(x)$ en un punto de abscisa $x = a$ viene dada por la fórmula: $$y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$$ Como el enunciado nos indica que $f(x) = e^x$ y $f'(x) = e^x$, calculamos los valores en $x = a$: - $f(a) = e^a$ - $f'(a) = e^a$ Sustituyendo en la fórmula general, obtenemos la ecuación de la recta en función del parámetro $a$: $$y - e^a = e^a \cdot (x - a)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada en dicho punto.

Para que la recta pase por el origen de coordenadas $(0, 0)$, las coordenadas $x = 0$ e $y = 0$ deben satisfacer la ecuación de la recta tangente: $$0 - e^a = e^a \cdot (0 - a)$$ $$-e^a = e^a \cdot (-a)$$ $$-e^a = -a \cdot e^a$$ Como la función exponencial $e^a$ es siempre positiva para cualquier valor de $a$ ($e^a \neq 0$), podemos simplificar la ecuación dividiendo ambos miembros por $-e^a$: $$\frac{-e^a}{-e^a} = \frac{-a \cdot e^a}{-e^a}$$ $$1 = a$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**b) Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, la recta tangente a la misma en el punto $(1, f(1))$ y el eje de ordenadas.** Del apartado anterior sabemos que para $a = 1$ la recta pasa por el origen. Vamos a escribir su ecuación explícita: $$y - e^1 = e^1 \cdot (x - 1)$$ $$y - e = e(x - 1)$$ $$y - e = ex - e$$ $$y = ex$$ Así, las funciones que limitan nuestro recinto son: - La curva: $f(x) = e^x$ - La recta tangente: $g(x) = ex$ - El eje de ordenadas (eje $Y$): $x = 0$

El recinto está limitado a la izquierda por el eje de ordenadas ($x = 0$) y a la derecha por el punto de tangencia, que hemos hallado en el apartado anterior ($x = 1$). Por tanto, el intervalo de integración es $[0, 1]$. Para saber qué función va por encima, podemos evaluar en un punto intermedio, por ejemplo $x = 0.5$: - $f(0.5) = e^{0.5} \approx 1.648$ - $g(0.5) = e \cdot 0.5 \approx 1.359$ Dado que $e^x \gt ex$ en el intervalo $(0, 1)$, planteamos la integral de la diferencia: $$\text{Área} = \int_{0}^{1} (e^x - ex) \, dx$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, como $f(x) = e^x$ es una función convexa ($f''(x) = e^x > 0$), su gráfica siempre queda por encima de cualquier recta tangente a la misma.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (e^x - ex) \, dx = e^x - \frac{ex^2}{2} + C$$ Aplicamos la regla de Barrow en el intervalo $[0, 1]$: $$\text{Área} = \left[ e^x - \frac{ex^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ $$\text{Área} = \left( e^1 - \frac{e(1)^2}{2} \right) - \left( e^0 - \frac{e(0)^2}{2} \right)$$ $$\text{Área} = \left( e - \frac{e}{2} \right) - (1 - 0)$$ $$\text{Área} = \frac{e}{2} - 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \left(\frac{e}{2} - 1\right) \text{ u}^2 \approx 0.359 \text{ u}^2}$$