Estudio de asíntotas y monotonía de una función racional

**a) Estudia y halla las asíntotas de la gráfica de $f$. (1.25 puntos)** Primero, identificamos el dominio de la función. El enunciado nos indica que $x \neq -3$ y $x \neq 1$, que son los valores que anulan el denominador: $$x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$$ Para hallar las **asíntotas verticales (AV)**, calculamos los límites laterales en esos puntos: 1. En $x = -3$: $$\lim_{x \to -3} \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3} = \frac{(-3)^2 - 10}{0} = \frac{-1}{0} = \infty$$ 2. En $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3} = \frac{1^2 - 10}{0} = \frac{-9}{0} = \infty$$ Como los límites son infinitos, existen asíntotas verticales en ambos puntos. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -3, \quad x = 1}$$

Para hallar las **asíntotas horizontales (AH)**, calculamos el límite de la función cuando $x \to \pm \infty$: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2 - 10}{x^2 + 2x - 3} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^2}{x^2} = 1$$ Al ser el grado del numerador igual al del denominador, el límite es el cociente de los coeficientes principales. Como existe una asíntota horizontal, **no existen asíntotas oblicuas (AO)**. 💡 **Tip:** Si una función racional tiene asíntota horizontal, automáticamente no tiene oblicua, ya que la horizontal es un caso particular de la oblicua con pendiente $m=0$. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 1}$$

**b) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$. (1.25 puntos)** Para estudiar la monotonía, necesitamos hallar la derivada $f'(x)$. Aplicamos la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x^2 - 10)'(x^2 + 2x - 3) - (x^2 - 10)(x^2 + 2x - 3)'}{(x^2 + 2x - 3)^2}$$ Calculamos las derivadas de numerador y denominador: $$f'(x) = \frac{(2x)(x^2 + 2x - 3) - (x^2 - 10)(2x + 2)}{(x^2 + 2x - 3)^2}$$ Operamos en el numerador: $$f'(x) = \frac{(2x^3 + 4x^2 - 6x) - (2x^3 + 2x^2 - 20x - 20)}{(x^2 + 2x - 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^3 + 4x^2 - 6x - 2x^3 - 2x^2 + 20x + 20}{(x^2 + 2x - 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 + 14x + 20}{(x^2 + 2x - 3)^2}$$ Podemos simplificar el numerador factorizando el 2: $$\boxed{f'(x) = \frac{2(x^2 + 7x + 10)}{(x^2 + 2x - 3)^2}}$$

Buscamos los puntos donde $f'(x) = 0$ (puntos críticos): $$2(x^2 + 7x + 10) = 0 \implies x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{-7 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $x = -5$ y $x = -2$. Para determinar la monotonía, debemos estudiar el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por estos puntos críticos y los puntos de discontinuidad ($x = -3$ y $x = 1$). El denominador $(x^2 + 2x - 3)^2$ es siempre positivo para cualquier $x$ del dominio, por lo que el signo de $f'(x)$ depende únicamente del numerador $2(x+5)(x+2)$. **Tabla de monotonía:** $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, -5) & -5 & (-5, -3) & -3 & (-3, -2) & -2 & (-2, 1) & 1 & (1, +\infty) \\\hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + & \nexists & + \\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \nexists & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Recuerda siempre incluir los puntos donde la función no está definida ($x=-3$ y $x=1$) al dividir la recta real en intervalos.

A la vista de la tabla de signos, concluimos los intervalos: La función es **creciente** donde $f'(x) \gt 0$: $$\boxed{(-\infty, -5) \cup (-2, 1) \cup (1, +\infty)}$$ La función es **decreciente** donde $f'(x) \lt 0$: $$\boxed{(-5, -3) \cup (-3, -2)}$$ Note que en $x=-5$ hay un máximo relativo y en $x=-2$ hay un mínimo relativo, aunque no se pedían explícitamente.