Cálculo de parámetros de una función polinómica

Para resolver el ejercicio, necesitamos plantear un sistema de cuatro ecuaciones para las cuatro incógnitas ($a, b, c, d$). Dada la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, calculamos sus derivadas: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ $$f''(x) = 6ax + 2b$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la primera derivada nos da la pendiente de la recta tangente y la segunda derivada nos informa sobre la curvatura y los puntos de inflexión.

El enunciado indica que el punto $(0, 4)$ es un punto de inflexión. Esto nos proporciona dos informaciones: 1. **El punto pertenece a la gráfica:** $f(0) = 4$ $$f(0) = a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 4 \implies \mathbf{d = 4}$$ 2. **La segunda derivada se anula en la abscisa del punto de inflexión:** $f''(0) = 0$ $$f''(0) = 6a(0) + 2b = 0 \implies 2b = 0 \implies \mathbf{b = 0}$$ 💡 **Tip:** Para que exista un punto de inflexión en $x=x_0$, es condición necesaria que $f''(x_0)=0$ (en funciones polinómicas).

Se nos dice que el punto $(1, 8)$ pertenece a la gráfica de la función. Por tanto: $$f(1) = 8$$ Sustituimos $x = 1$, $y = 8$ y los valores ya conocidos ($b=0$ y $d=4$): $$a(1)^3 + 0(1)^2 + c(1) + 4 = 8$$ $$a + c + 4 = 8$$ $$a + c = 4 \quad \text{(Ecuación 1)}$$

Se indica que la recta normal en el punto $(1, 8)$ es paralela al eje de ordenadas (eje $Y$). - El eje de ordenadas es una recta vertical. - Si la **recta normal** es vertical, entonces la **recta tangente** debe ser horizontal (perpendicular a la normal). - Una recta tangente horizontal tiene pendiente $m_t = 0$. La pendiente de la recta tangente en $x=1$ es $f'(1)$, por lo que: $$f'(1) = 0$$ Utilizamos la expresión de $f'(x)$ con $b=0$: $$f'(1) = 3a(1)^2 + 2(0)(1) + c = 0$$ $$3a + c = 0 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** Si la recta normal es paralela al eje $Y$, su ecuación es del tipo $x = k$. Para que esto ocurra, la pendiente de la tangente debe ser cero, ya que $m_n = -1/f'(a)$ tiende a infinito.

Tenemos el siguiente sistema con las ecuaciones 1 y 2: $$\begin{cases} a + c = 4 \\ 3a + c = 0 \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(3a + c) - (a + c) = 0 - 4$$ $$2a = -4 \implies \mathbf{a = -2}$$ Ahora despejamos $c$ de la primera ecuación: $$-2 + c = 4 \implies \mathbf{c = 6}$$ Los valores obtenidos son: $a = -2$, $b = 0$, $c = 6$ y $d = 4$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -2, \; b = 0, \; c = 6, \; d = 4}$$