Optimización de un rectángulo inscrito en un triángulo

**a) La expresión $f(x)$ del área del rectángulo anterior. (4 puntos)** El rectángulo tiene su base sobre el eje $X$, entre los puntos $(-x, 0)$ y $(x, 0)$. Por tanto, la longitud de la base es: $$\text{Base} = x - (-x) = 2x$$ Los otros dos vértices están en los segmentos $AB$ y $AC$. Debido a la simetría del triángulo (isósceles respecto al eje $Y$), el vértice superior derecho estará sobre el segmento $AC$. Hallamos la ecuación de la recta que pasa por $A(0, 12)$ y $C(5, 0)$: 1. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 12}{5 - 0} = -\frac{12}{5}$$ 2. Usamos la forma punto-pendiente (o la explícita, ya que la ordenada en el origen es $12$): $$y = -\frac{12}{5}x + 12$$ La altura del rectángulo para un valor de $x$ dado será el valor de la coordenada $y$ en dicha recta: $$\text{Altura} = h = -\frac{12}{5}x + 12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación de una recta que pasa por $(0, n)$ y $(a, 0)$ es simplemente $y = \frac{-n}{a}x + n$.

El área del rectángulo es el producto de su base por su altura. Sustituimos las expresiones obtenidas: $$f(x) = \text{Base} \cdot \text{Altura} = 2x \cdot \left( -\frac{12}{5}x + 12 \right)$$ Multiplicamos para obtener la expresión polinómica: $$f(x) = -\frac{24}{5}x^2 + 24x$$ El dominio de la función, según el enunciado, es $x \in [0, 5]$. ✅ **Resultado (Expresión del área):** $$\boxed{f(x) = -\frac{24}{5}x^2 + 24x}$$

**b) El valor de $x$ para el cual dicha área es máxima y las dimensiones del rectángulo obtenido. (3 puntos)** Para maximizar el área, derivamos la función $f(x)$ e igualamos a cero: $$f'(x) = -\frac{48}{5}x + 24$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$-\frac{48}{5}x + 24 = 0 \implies 24 = \frac{48}{5}x \implies x = \frac{24 \cdot 5}{48} = \frac{120}{48}$$ $$x = 2.5 = \frac{5}{2}$$ Comprobamos que es un máximo usando la segunda derivada: $$f''(x) = -\frac{48}{5} = -9.6$$ Como $f''(2.5) < 0$, en $x = 2.5$ hay un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre es necesario justificar si el valor hallado es un máximo o un mínimo usando el criterio de la primera o segunda derivada.

Calculamos las dimensiones del rectángulo para $x = 2.5$: - **Base**: $2x = 2 \cdot 2.5 = 5$ unidades. - **Altura**: $h = -\frac{12}{5}(2.5) + 12 = -6 + 12 = 6$ unidades. ✅ **Resultado (Máximo y dimensiones):** $$\boxed{x = 2.5 \text{ unidades, con dimensiones } 5 \times 6}$$

**c) La proporción entre el área del rectángulo anterior y el área del triángulo. (3 puntos)** Primero calculamos el área de ambos polígonos: 1. **Área del rectángulo máximo ($A_R$):** $$A_R = \text{Base} \cdot \text{Altura} = 5 \cdot 6 = 30 \text{ u}^2$$ 2. **Área del triángulo ($A_T$):** La base del triángulo va de $B(-5,0)$ a $C(5,0)$, luego la base es $10$. La altura es la ordenada del vértice $A(0,12)$, es decir, $12$. $$A_T = \frac{\text{Base} \cdot \text{Altura}}{2} = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \text{ u}^2$$ 3. **Proporción ($P$):** $$P = \frac{A_R}{A_T} = \frac{30}{60} = \frac{1}{2}$$ La proporción es de $1:2$, es decir, el área del rectángulo máximo ocupa exactamente la mitad del área del triángulo. ✅ **Resultado (Proporción):** $$\boxed{\text{Proporción} = 0.5 = \frac{1}{2}}$$