Geometría en el Espacio: Rectas y Planos con Parámetros

**a) Si hay algún valor del parámetro $a$ para el cual la recta $r$ está contenida en el plano $\pi$. (4 puntos)** Primero, obtenemos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$, así como el vector normal $\vec{n}_\pi$ del plano: De las ecuaciones paramétricas de $r$: $P_r = (1, 2, 0)$ y $\vec{v}_r = (0, 1, 2)$. Del plano $\pi: 3x + ay - z + 1 = 0$: $\vec{n}_\pi = (3, a, -1)$. Para que la recta $r$ esté contenida en el plano $\pi$, deben cumplirse dos condiciones: 1. El vector director de la recta debe ser perpendicular al vector normal del plano (la recta es paralela al plano o está en él): $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$. 2. Un punto de la recta debe pertenecer al plano: $P_r \in \pi$.

Aplicamos la primera condición (perpendicularidad entre vectores): $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (0, 1, 2) \cdot (3, a, -1) = 0\cdot 3 + 1\cdot a + 2\cdot(-1) = a - 2 = 0 \implies a = 2.$$ Ahora, comprobamos si para $a = 2$, el punto $P_r(1, 2, 0)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano: $$3(1) + 2(2) - (0) + 1 = 3 + 4 + 1 = 8 \neq 0.$$ Como el resultado no es cero, el punto $P_r$ no pertenece al plano para el valor de $a$ que hace la recta paralela. Si probamos a forzar que el punto pertenezca al plano: $$3(1) + a(2) - 0 + 1 = 0 \implies 4 + 2a = 0 \implies a = -2.$$ Pero si $a = -2$, entonces $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = -2 - 2 = -4 \neq 0$, por lo que la recta cortaría al plano en ese punto en lugar de estar contenida. 💡 **Tip:** Para que $r \subset \pi$, el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano debe tener infinitas soluciones para cualquier $\lambda$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ningún valor de } a \text{ para el cual } r \subset \pi}$$

**b) La distancia entre las rectas $r$ y $s$. (3 puntos)** De la recta $s: \frac{x+1}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z+2}{1}$, extraemos: $P_s = (-1, 0, -2)$ y $\vec{v}_s = (2, -1, 1)$. Ya teníamos de $r$: $P_r = (1, 2, 0)$ y $\vec{v}_r = (0, 1, 2)$. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_s P_r} = (1 - (-1), 2 - 0, 0 - (-2)) = (2, 2, 2).$$ Comprobamos si las rectas son paralelas comparando sus vectores directores: $\vec{v}_r = (0, 1, 2)$ y $\vec{v}_s = (2, -1, 1)$ no son proporcionales, por lo que las rectas se cruzan o se cortan. 💡 **Tip:** La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula mediante la fórmula $d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_s P_r}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$.

Calculamos el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por Sarrus: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (1 - (-2))\mathbf{i} - (0 - 4)\mathbf{j} + (0 - 2)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 2\mathbf{k} = (3, 4, -2).$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29}.$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores directores.

Calculamos el producto mixto $[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_s P_r}]$ (volumen del paralelepípedo): $$[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_s P_r}] = (\vec{v}_r \times \vec{v}_s) \cdot \vec{P_s P_r} = (3, 4, -2) \cdot (2, 2, 2)$$ $$= 3 \cdot 2 + 4 \cdot 2 + (-2) \cdot 2 = 6 + 8 - 4 = 10.$$ Como el producto mixto es distinto de cero ($10 \neq 0$), confirmamos que las rectas **se cruzan**. La distancia es: $$d(r, s) = \frac{|10|}{\sqrt{29}} = \frac{10}{\sqrt{29}} \text{ unidades.}$$ Racionalizando (opcional): $$d(r, s) = \frac{10\sqrt{29}}{29}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{10}{\sqrt{29}} \approx 1.857}$$

**c) El coseno del ángulo que forman la recta $r$ y la recta $t: \begin{cases} 2x - y = 0 \\ y - z = 2 \end{cases}$. (3 puntos)** La recta $t$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v}_t$ es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $\vec{n}_1 = (2, -1, 0)$ y $\vec{n}_2 = (0, 1, -1)$. $$\vec{v}_t = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_t = (1 - 0)\mathbf{i} - (-2 - 0)\mathbf{j} + (2 - 0)\mathbf{k} = (1, 2, 2).$$ 💡 **Tip:** El ángulo $\alpha$ entre dos rectas es el ángulo agudo que forman sus vectores directores, por lo que usamos el valor absoluto en el producto escalar.

Utilizamos la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_t|}{|\vec{v}_r| \cdot |\vec{v}_t|}$$ Datos: $\vec{v}_r = (0, 1, 2) \implies |\vec{v}_r| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{5}.$ $\vec{v}_t = (1, 2, 2) \implies |\vec{v}_t| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3.$ Producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_t = (0, 1, 2) \cdot (1, 2, 2) = 0\cdot 1 + 1\cdot 2 + 2\cdot 2 = 6.$$ Sustituimos: $$\cos \alpha = \frac{|6|}{\sqrt{5} \cdot 3} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}.$$ Racionalizando: $$\cos \alpha = \frac{2\sqrt{5}}{5}.$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\cos \alpha = \dfrac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.894}$$