Inversa, Ecuaciones Matriciales y Sistemas Homogéneos

**a) La justificación de que $A$ tiene inversa y el cálculo de dicha matriz inversa. (3 puntos)** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix}$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1) + (2 \cdot 0 \cdot 0) + (0 \cdot 0 \cdot 2) - [ (0 \cdot 1 \cdot 0) + (2 \cdot 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0 \cdot 2) ]$$ $$|A| = 1 + 0 + 0 - [ 0 + 0 + 0 ] = 1$$ Como $|A| = 1 \neq 0$, **la matriz $A$ tiene inversa**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es cero, la matriz es singular (no invertible), y si es distinto de cero, es regular (invertible).

Para calcular $A^{-1}$ utilizamos la fórmula: $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^t$. 1. Calculamos la matriz de adjuntos (cofactores) $Adj(A)$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1$ ; $A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ ; $A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -2$ ; $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ ; $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = -2$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ ; $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ ; $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Realizamos la traspuesta de la matriz de adjuntos: $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Como $|A| = 1$, la inversa coincide con dicha traspuesta: ✅ **Resultado (Matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) Dos constantes $a, b$ de modo que $A^{-1} = A^2 + aA + bI$. Se puede usar que $A$ verifica $A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0$. (3 puntos)** Partimos de la ecuación dada: $$A^3 - 3A^2 + 3A - I = 0$$ Despejamos la matriz identidad $I$: $$A^3 - 3A^2 + 3A = I$$ Como sabemos que existe $A^{-1}$ (del apartado anterior), multiplicamos toda la ecuación por $A^{-1}$ por la izquierda (o por la derecha): $$A^{-1} \cdot (A^3 - 3A^2 + 3A) = A^{-1} \cdot I$$ $$A^{-1} A^3 - 3 A^{-1} A^2 + 3 A^{-1} A = A^{-1}$$ $$A^2 - 3A + 3I = A^{-1}$$ Comparando esta expresión con la del enunciado ($A^{-1} = A^2 + aA + bI$): - El coeficiente de $A$ es $a = -3$. - El coeficiente de $I$ es $b = 3$. 💡 **Tip:** Multiplicar una ecuación matricial por la inversa es una técnica estándar para reducir el grado de las potencias de la matriz. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 3}$$

**c) El valor de $\lambda$ para que el sistema $(A - \lambda I) \cdot X = \mathbf{0}$ tenga infinitas soluciones. (2 puntos)** El sistema planteado es un **sistema homogéneo**. Este tipo de sistemas siempre son compatibles (tienen al menos la solución trivial $x=y=z=0$). Para que tenga **infinitas soluciones** (Sistema Compatible Indeterminado), el determinante de la matriz de coeficientes debe ser cero: $$|A - \lambda I| = 0$$ Calculamos la matriz $A - \lambda I$: $$A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 2 & 0 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 2 & 1-\lambda \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|A - \lambda I| = (1-\lambda) \cdot (1-\lambda) \cdot (1-\lambda) = (1-\lambda)^3$$ Igualamos a cero: $$(1-\lambda)^3 = 0 \implies 1-\lambda = 0 \implies \lambda = 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lambda = 1}$$

**Para dicho valor de $\lambda$ hallar todas las soluciones del sistema. (2 puntos)** Sustituimos $\lambda = 1$ en la matriz $A - \lambda I$: $$A - 1I = \begin{pmatrix} 1-1 & 2 & 0 \\ 0 & 1-1 & 0 \\ 0 & 2 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ El sistema de ecuaciones es: $$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \implies \begin{cases} 2y = 0 \\ 0 = 0 \\ 2y = 0 \end{cases}$$ De la ecuación $2y = 0$, obtenemos que **$y = 0$**. Las variables $x$ y $z$ no aparecen condicionadas por ninguna ecuación, por lo que pueden tomar cualquier valor real. Usamos parámetros $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$: $$x = \alpha, \quad z = \beta$$ ✅ **Resultado (Solución general):** $$\boxed{(x, y, z) = (\alpha, 0, \beta) \quad \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}}$$