Estudio completo e integración de una función irracional

**a) El dominio de definición y las asíntotas de la función $f$. (3 puntos)** Para que la función $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$ esté definida, el radicando de la raíz cuadrada debe ser positivo (no puede ser cero por estar en el denominador): $$x^2 - 1 \gt 0$$ Resolvemos la inecuación hallando las raíces de $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$. Estudiamos el signo en los intervalos determinados por estas raíces: - Si $x \in (-\infty, -1)$, por ejemplo $x = -2$: $(-2)^2 - 1 = 3 \gt 0$ (Válido). - Si $x \in (-1, 1)$, por ejemplo $x = 0$: $0^2 - 1 = -1 \lt 0$ (No válido). - Si $x \in (1, +\infty)$, por ejemplo $x = 2$: $2^2 - 1 = 3 \gt 0$ (Válido). 💡 **Tip:** Recuerda que las funciones con raíces en denominadores requieren que el interior sea estrictamente mayor que cero. $$\boxed{\text{Dom}(f) = (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los extremos abiertos del dominio. Estudiamos los límites laterales en $x = 1$ y $x = -1$: **En $x = 1$:** $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{0^+} = +\infty$$ **En $x = -1$:** $$\lim_{x \to -1^-} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ Por tanto, existen dos asíntotas verticales: $$\boxed{x = 1, \quad x = -1}$$

Calculamos los límites en el infinito. Debemos tener cuidado con el signo de la raíz al extraer la $x$: **Cuando $x \to +\infty$:** $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2(1 - \frac{1}{x^2})}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{1} = 1$$ **Cuando $x \to -\infty$:** $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{|x|\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}}$$ Como $x$ es negativo, $|x| = -x$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{-1} = -1$$ 💡 **Tip:** En funciones irracionales, $\sqrt{x^2} = |x|$. Esto provoca que la asíntota horizontal pueda ser distinta en $+\infty$ y $-\infty$. $$\boxed{\text{AH: } y = 1 \text{ (en } +\infty\text{), } y = -1 \text{ (en } -\infty\text{)}}$$

**b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como la representación gráfica de la función. (3 +1 puntos)** Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2-1} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{(\sqrt{x^2-1})^2} = \frac{\sqrt{x^2-1} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}$$ Operamos en el numerador: $$f'(x) = \frac{\frac{x^2-1-x^2}{\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1} = \frac{-1}{(x^2-1)\sqrt{x^2-1}} = \frac{-1}{(x^2-1)^{3/2}}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$: Como $(x^2-1)^{3/2}$ es siempre positivo en el dominio, el numerador $-1$ hace que $f'(x) \lt 0$ para todo $x \in \text{Dom}(f)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & - \\ \hline f(x) & \searrow & \searrow \end{array}$$ La función es **estrictamente decreciente** en todo su dominio. $$\boxed{\text{Decreciente en: } (-\infty, -1) \cup (1, +\infty)}$$

Para la representación gráfica, unimos la información de las asíntotas y la monotonía. Además, observamos que $f(x)$ es una función impar ($f(-x) = -f(x)$), por lo que es simétrica respecto al origen. - Asíntotas horizontales en $y=1$ y $y=-1$. - Asíntotas verticales en $x=1$ y $x=-1$. - Siempre decreciente.

**c) El valor de $\int_2^3 f(x)dx$. (3 puntos)** Buscamos la primitiva de $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}$. Observamos que es de tipo casi inmediata, ya que el numerador es casi la derivada del radicando: $$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx = \frac{1}{2} \int 2x(x^2-1)^{-1/2} dx$$ Utilizamos la fórmula $\int f'(x) [f(x)]^n dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1}$: $$\frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2-1)^{1/2}}{1/2} = (x^2-1)^{1/2} = \sqrt{x^2-1}$$ Ahora aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[2, 3]$: $$\int_2^3 \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx = \left[ \sqrt{x^2-1} \right]_2^3 = \sqrt{3^2-1} - \sqrt{2^2-1}$$ $$\sqrt{8} - \sqrt{3} = 2\sqrt{2} - \sqrt{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} dx$ es de la forma $\int \frac{u'}{2\sqrt{u}} dx = \sqrt{u}$. $$\boxed{2\sqrt{2} - \sqrt{3} \approx 1.096}$$