Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

**a) Unas ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que pasa por el punto $P$ y es paralela a los planos $\pi$ y $\pi'$. (3 puntos)** Si una recta $r$ es paralela a un plano, su vector director $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano. En este caso, al ser paralela a dos planos $\pi$ y $\pi'$, su vector director será perpendicular a ambos vectores normales simultáneamente. Extraemos los vectores normales de los planos: - Para $\pi: x + y - 1 = 0$, el normal es $\vec{n}_\pi = (1, 1, 0)$. - Para $\pi': x - y + z - 1 = 0$, el normal es $\vec{n}_{\pi'} = (1, -1, 1)$. El vector director de la recta $r$ se obtiene mediante el producto vectorial de ambos normales: $$\vec{d}_r = \vec{n}_\pi \times \vec{n}_{\pi'} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{d}_r = \vec{i}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 1 \cdot 1)$$ $$\vec{d}_r = 1\vec{i} - 1\vec{j} - 2\vec{k} = (1, -1, -2)$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$ genera un vector perpendicular a ambos. Es la herramienta estándar para hallar direcciones de rectas paralelas a dos planos o la dirección de la intersección de dos planos.

Conocemos el punto $P(1, -1, 0)$ y el vector director $\vec{d}_r = (1, -1, -2)$. La ecuación paramétrica de una recta se define como: $$\begin{cases} x = x_0 + \lambda v_1 \\ y = y_0 + \lambda v_2 \\ z = z_0 + \lambda v_3 \end{cases}$$ Sustituyendo nuestros datos: $$\begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado a):** $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -1 - \lambda \\ z = -2\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) La distancia de la recta $r$ a cada uno de los planos $\pi$ y $\pi'$. (3 puntos)** Dado que la recta $r$ es paralela a los planos $\pi$ y $\pi'$, la distancia de la recta a cada plano es constante e igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usaremos el punto $P(1, -1, 0)$. La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ es: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Para el plano $\pi: x + y - 1 = 0$: $$d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{|1(1) + 1(-1) + 0(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2}} = \frac{|1 - 1 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Racionalizando: $$\boxed{d(r, \pi) = \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ unidades}}$$

Repetimos el proceso para el plano $\pi': x - y + z - 1 = 0$ con el punto $P(1, -1, 0)$: $$d(r, \pi') = d(P, \pi') = \frac{|1(1) - 1(-1) + 1(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|1 + 1 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando: $$\boxed{d(r, \pi') = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ unidades}}$$ 💡 **Tip:** Solo podemos usar la distancia punto-plano para una recta si estamos seguros de que la recta y el plano son paralelos. Si se cortasen, la distancia sería $0$.

**c) La recta que pasa por $P$ y corta perpendicularmente a la recta obtenida como intersección de los planos $\pi$ y $\pi'$. (4 puntos)** Llamemos $s$ a la recta intersección de $\pi$ y $\pi'$. Sus ecuaciones implícitas son: $$s: \begin{cases} x + y = 1 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$$ Como vimos en el apartado (a), su vector director es $\vec{d}_s = \vec{n}_\pi \times \vec{n}_{\pi'} = (1, -1, -2)$. Obtenemos sus ecuaciones paramétricas despejando en función de un parámetro $\mu$. Si hacemos $x = \mu$: 1. De $x + y = 1 \implies y = 1 - \mu$ 2. De $x - y + z = 1 \implies \mu - (1 - \mu) + z = 1 \implies z = 1 - 2\mu + 1 \implies z = 2 - 2\mu$ La recta intersección $s$ es: $$s: \begin{cases} x = \mu \\ y = 1 - \mu \\ z = 2 - 2\mu \end{cases}$$

Buscamos una recta que pase por $P(1, -1, 0)$ y un punto $Q$ de la recta $s$, tal que el vector $\vec{PQ}$ sea perpendicular al vector director de $s$ ($\vec{d}_s$). Un punto genérico de $s$ es $Q(\mu, 1 - \mu, 2 - 2\mu)$. El vector $\vec{PQ}$ es: $$\vec{PQ} = Q - P = (\mu - 1, (1 - \mu) - (-1), (2 - 2\mu) - 0) = (\mu - 1, 2 - \mu, 2 - 2\mu)$$ Imponemos la condición de perpendicularidad $\vec{PQ} \perp \vec{d}_s \implies \vec{PQ} \cdot \vec{d}_s = 0$: $$(\mu - 1, 2 - \mu, 2 - 2\mu) \cdot (1, -1, -2) = 0$$ $$1(\mu - 1) - 1(2 - \mu) - 2(2 - 2\mu) = 0$$ $$\mu - 1 - 2 + \mu - 4 + 4\mu = 0$$ $$6\mu - 7 = 0 \implies \mu = \frac{7}{6}$$ Calculamos el vector director de la nueva recta usando $\mu = 7/6$: $$\vec{PQ} = \left(\frac{7}{6} - 1, 2 - \frac{7}{6}, 2 - 2\left(\frac{7}{6}\right)\right) = \left(\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, -\frac{2}{6}\right)$$ Para simplificar el vector director de la recta buscada, multiplicamos por $6$: $\vec{v} = (1, 5, -2)$.

La recta buscada pasa por $P(1, -1, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v} = (1, 5, -2)$. Podemos dar su ecuación en forma paramétrica: $$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 5t \\ z = -2t \end{cases}$$ ✅ **Resultado (Apartado c):** $$\boxed{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 + 5t \\ z = -2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}}$$