Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a) Los valores de $a$ para los cuales el sistema es compatible. (4 puntos)** Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a & 2 \\ 1 & -3 & a \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & a & 2 & 3 \\ 1 & -3 & a & -2 \\ 1 & 1 & 2 & a \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según los valores del parámetro $a$, utilizaremos el **teorema de Rouché-Capelli**. Primero, calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & a & 2 \\ 1 & -3 & a \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = [1 \cdot (-3) \cdot 2 + a \cdot a \cdot 1 + 2 \cdot 1 \cdot 1] - [2 \cdot (-3) \cdot 1 + 1 \cdot a \cdot 1 + a \cdot 2 \cdot 1]$$ $$|A| = [-6 + a^2 + 2] - [-6 + a + 2a] = a^2 - 4 - (3a - 6)$$ $$|A| = a^2 - 3a + 2$$ 💡 **Tip:** El determinante de la matriz de coeficientes nos indica para qué valores el rango de la matriz es máximo ($rg(A)=3$).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que cambian el rango de la matriz: $$a^2 - 3a + 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Obtenemos dos raíces: **$a_1 = 2$** y **$a_2 = 1$**. **Caso 1: Si $a \neq 1$ y $a \neq 2$** En este caso, $|A| \neq 0$, por lo que $rg(A) = 3$. Como el número de incógnitas es también 3, entonces $rg(A) = rg(A^*) = 3$. Por el teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**.

Si **$a = 1$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & 1 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila tienen los mismos coeficientes en $A$ pero distinto término independiente ($3 \neq 1$). Esto indica que las ecuaciones son contradictorias. Formalmente, el rango de $A$ es 2 (ya que las filas 1 y 3 son iguales). Calculamos el rango de $A^*$ usando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 1 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-3 - 2 + 3) - (-9 - 2 + 1) = -2 - (-10) = 8 \neq 0$$ Como $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$, por el teorema de Rouché-Capelli, el sistema es **Incompatible (SI)**.

Si **$a = 2$**, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right)$$ Como $|A|=0$, sabemos que $rg(A) \lt 3$. El menor $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = -3 - 2 = -5 \neq 0$, por lo que **$rg(A) = 2$**. Estudiamos el rango de $A^*$ orlando dicho menor con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (-6 - 4 + 3) - (-9 - 2 + 4) = -7 - (-7) = 0$$ Como todos los menores de orden 3 son cero, **$rg(A^*) = 2$**. Al ser $rg(A) = rg(A^*) = 2 \lt 3$ (número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado (valores de compatibilidad):** $$\boxed{\text{Compatible si } a \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) La solución del sistema cuando $a = 0$. (3 puntos)** Si $a = 0$, sustituimos en el sistema: $$\begin{cases} x + 2z = 3 \\ x - 3y = -2 \\ x + y + 2z = 0 \end{cases}$$ Como hemos visto en el apartado (a), para $a=0$ el sistema es Compatible Determinado. Podemos resolverlo por sustitución o reducción. Restamos la primera ecuación a la tercera: $$(x + y + 2z) - (x + 2z) = 0 - 3 \implies y = -3$$ Sustituimos $y = -3$ en la segunda ecuación: $$x - 3(-3) = -2 \implies x + 9 = -2 \implies x = -11$$ Sustituimos $x = -11$ en la primera ecuación: $$-11 + 2z = 3 \implies 2z = 14 \implies z = 7$$ ✅ **Resultado (solución para a = 0):** $$\boxed{x = -11, \, y = -3, \, z = 7}$$

**c) Las soluciones del sistema en el caso en que sea compatible indeterminado. (3 puntos)** Como vimos en el apartado (a), el sistema es Compatible Indeterminado cuando **$a = 2$**. El sistema resultante es: $$\begin{cases} x + 2y + 2z = 3 \\ x - 3y + 2z = -2 \\ x + y + 2z = 2 \end{cases}$$ Como el rango es 2, podemos prescindir de una ecuación (por ejemplo, la segunda) y resolver el sistema usando un parámetro. Usamos la primera y la tercera: $$\begin{cases} x + 2y + 2z = 3 \\ x + y + 2z = 2 \end{cases}$$ Restando la segunda a la primera: $$(x + 2y + 2z) - (x + y + 2z) = 3 - 2 \implies y = 1$$ Ahora sustituimos $y = 1$ en cualquiera de las ecuaciones para expresar $x$ en función de $z$. Usamos $x + y + 2z = 2$: $$x + 1 + 2z = 2 \implies x = 1 - 2z$$ Llamamos al parámetro **$z = \lambda$**: $$\begin{cases} x = 1 - 2\lambda \\ y = 1 \\ z = \lambda \end{cases} \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre debemos dejar una variable como parámetro libre (normalmente $\lambda$). ✅ **Resultado (soluciones SCI):** $$\boxed{(x, y, z) = (1 - 2\lambda, 1, \lambda), \, \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$