Optimización del área de un triángulo isósceles

**a) La expresión del área $A(x)$ del triángulo, en función de la longitud $x$ del tercer lado. (4 puntos)** Sea un triángulo isósceles con dos lados de longitud $L = 10$ cm y un tercer lado (base) de longitud $x$. Para hallar el área, necesitamos la altura $h$ relativa a la base $x$. La altura de un triángulo isósceles divide la base en dos segmentos iguales de longitud $\frac{x}{2}$, formando dos triángulos rectángulos. Aplicamos el **Teorema de Pitágoras**: $$10^2 = h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2$$ $$100 = h^2 + \frac{x^2}{4}$$ Despejamos $h$: $$h^2 = 100 - \frac{x^2}{4} = \frac{400 - x^2}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{400 - x^2}{4}} = \frac{\sqrt{400 - x^2}}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en un triángulo isósceles, la altura sobre el lado desigual es también mediana y mediatriz, por lo que divide a la base exactamente por la mitad.

El área de un triángulo se define como $A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2}$. Sustituimos los valores obtenidos: $$A(x) = \frac{x \cdot \frac{\sqrt{400 - x^2}}{2}}{2} = \frac{x\sqrt{400 - x^2}}{4}$$ El dominio de esta función en el contexto del problema viene dado por el hecho de que las longitudes deben ser positivas ($x > 0$) y, por la desigualdad triangular, el lado $x$ debe ser menor que la suma de los otros dos lados ($x < 10 + 10 = 20$). Por tanto, $x \in (0, 20)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A(x) = \frac{x\sqrt{400 - x^2}}{4}}$$

**b) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento la función $A(x)$, $0 \le x \le 20$. (4 puntos)** Para estudiar el crecimiento, calculamos la derivada $A'(x)$ usando la regla del producto y la regla de la cadena: $$A'(x) = \frac{1}{4} \left[ 1 \cdot \sqrt{400 - x^2} + x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{400 - x^2}} \right]$$ $$A'(x) = \frac{1}{4} \left[ \sqrt{400 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{400 - x^2}} \right]$$ Simplificamos poniendo común denominador: $$A'(x) = \frac{1}{4} \left[ \frac{400 - x^2 - x^2}{\sqrt{400 - x^2}} \right] = \frac{400 - 2x^2}{4\sqrt{400 - x^2}} = \frac{200 - x^2}{2\sqrt{400 - x^2}}$$ 💡 **Tip:** Para derivar $\sqrt{u}$, la fórmula es $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$. Aquí $u = 400 - x^2$, por lo que $u' = -2x$.

Buscamos los puntos críticos igualando $A'(x) = 0$: $$\frac{200 - x^2}{2\sqrt{400 - x^2}} = 0 \implies 200 - x^2 = 0 \implies x^2 = 200 \implies x = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \approx 14.14$$ (Descartamos la solución negativa por el contexto geométrico). Analizamos el signo de $A'(x)$ en el intervalo $(0, 20)$. Como el denominador es siempre positivo en el dominio, el signo depende solo del numerador $200 - x^2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 10\sqrt{2}) & 10\sqrt{2} & (10\sqrt{2}, 20)\\\hline A'(x) & + & 0 & -\\ A(x) & \text{Creciente (\uparrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\downarrow)} \end{array}$$ - En $(0, 10\sqrt{2})$, tomamos $x=1$: $200 - 1^2 > 0 \implies$ **Creciente**. - En $(10\sqrt{2}, 20)$, tomamos $x=15$: $200 - 15^2 = 200 - 225 < 0 \implies$ **Decreciente**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, 10\sqrt{2}) \text{ y Decreciente en } (10\sqrt{2}, 20)}$$

**c) La longitud $x$ del tercer lado para que el área del triángulo sea máxima y el valor de esta área. (2 puntos)** Del estudio de la monotonía anterior, se deduce que existe un **máximo relativo y absoluto** en $x = 10\sqrt{2}$ cm. Calculamos el valor del área para dicho valor de $x$: $$A(10\sqrt{2}) = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{400 - (10\sqrt{2})^2}}{4}$$ $$A(10\sqrt{2}) = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{400 - 200}}{4} = \frac{10\sqrt{2} \cdot \sqrt{200}}{4}$$ $$A(10\sqrt{2}) = \frac{10\sqrt{2} \cdot 10\sqrt{2}}{4} = \frac{100 \cdot 2}{4} = \frac{200}{4} = 50 \text{ cm}^2$$ 💡 **Tip:** Curiosamente, cuando $x = 10\sqrt{2}$, la altura es $h = \frac{\sqrt{200}}{2} = \frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. Si calculas los ángulos, verás que el triángulo máximo es el rectángulo isósceles. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Longitud } x = 10\sqrt{2} \text{ cm, Área máxima } = 50 \text{ cm}^2}$$