Geometría en el espacio: planos perpendiculares, rectas y distancias

**a) La ecuación implícita del plano que pasa por los puntos $A, B$ y es perpendicular a $\pi$. (4 puntos)** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). Llamaremos $\pi_1$ al plano que buscamos. 1. **Punto:** Podemos usar el punto $A(1, 2, -1)$. 2. **Primer vector director:** Como el plano contiene a los puntos $A$ y $B$, el vector $\vec{AB}$ es un vector director del plano: $$\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (2-1, 1-2, 0-(-1)) = (1, -1, 1)$$ 3. **Segundo vector director:** Como $\pi_1$ es perpendicular al plano $\pi: 2x + y - z - 5 = 0$, el vector normal de $\pi$, llamado $\vec{n_\pi}$, será paralelo a nuestro plano $\pi_1$. El vector normal de $\pi$ es: $$\vec{v_2} = \vec{n_\pi} = (2, 1, -1)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal del primero es un vector director del segundo (y viceversa).

El vector normal del plano buscado, $\vec{n_{\pi_1}}$, se obtiene mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores: $$\vec{n_{\pi_1}} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por la regla de Sarrus: $$\vec{n_{\pi_1}} = [(-1) \cdot (-1) \vec{i} + 1 \cdot 2 \vec{j} + 1 \cdot 1 \vec{k}] - [2 \cdot (-1) \vec{k} + 1 \cdot 1 \vec{i} + (-1) \cdot 1 \vec{j}]$$ $$\vec{n_{\pi_1}} = (\vec{i} + 2\vec{j} + \vec{k}) - (-2\vec{k} + \vec{i} - \vec{j})$$ $$\vec{n_{\pi_1}} = 0\vec{i} + 3\vec{j} + 3\vec{k} = (0, 3, 3)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 3 para facilitar los cálculos: $\vec{n_{\pi_1}} = (0, 1, 1)$.

La ecuación general o implícita de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En nuestro caso: $$0x + 1y + 1z + D = 0 \implies y + z + D = 0$$ Hacemos que pase por el punto $A(1, 2, -1)$ para hallar $D$: $$2 + (-1) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano $\pi_1$ es: $$\boxed{y + z - 1 = 0}$$

**b) Las ecuaciones paramétricas de la recta $r$ que es perpendicular a $\pi$ y pasa por $A$. Encuentra dos planos cuya intersección sea la recta $r$. (1+2 puntos)** Si la recta $r$ es perpendicular al plano $\pi: 2x + y - z - 5 = 0$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser el vector normal del plano: $$\vec{v_r} = \vec{n_\pi} = (2, 1, -1)$$ Como la recta pasa por $A(1, 2, -1)$, sus **ecuaciones paramétricas** son: $$\boxed{r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 2 + \lambda \\ z = -1 - \lambda \end{cases}}$$ con $\lambda \in \mathbb{R}$.

Para encontrar dos planos cuya intersección sea la recta $r$, pasamos de las paramétricas a la forma continua y luego extraemos dos igualdades. Forma continua: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{-1}$$ Tomamos la primera igualdad: $$\frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{1} \implies x - 1 = 2y - 4 \implies x - 2y + 3 = 0$$ Tomamos la segunda igualdad: $$\frac{y - 2}{1} = \frac{z + 1}{-1} \implies -(y - 2) = z + 1 \implies -y + 2 = z + 1 \implies y + z - 1 = 0$$ Por tanto, la recta $r$ es la intersección de los planos: $$\boxed{\begin{cases} x - 2y + 3 = 0 \\ y + z - 1 = 0 \end{cases}}$$ 💡 **Tip:** Cualquier recta en el espacio se puede expresar como la intersección de infinitos pares de planos. Los obtenidos a partir de la ecuación continua son los más directos.

**c) La distancia entre el punto $B$ y la recta $r$. (3 puntos)** La distancia de un punto $P$ a una recta $r$ (que pasa por $A$ y tiene vector director $\vec{v_r}$) viene dada por la fórmula: $$d(B, r) = \frac{|\vec{AB} \times \vec{v_r}|}{|\vec{v_r}|}$$ Ya conocemos los datos necesarios: - $B(2, 1, 0)$ - $A(1, 2, -1) \implies \vec{AB} = (1, -1, 1)$ - $\vec{v_r} = (2, 1, -1)$

Primero calculamos el producto vectorial $\vec{AB} \times \vec{v_r}$: $$\vec{AB} \times \vec{v_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Este determinante lo hemos calculado en el apartado (a), resultando: $$\vec{AB} \times \vec{v_r} = (0, 3, 3)$$ Calculamos el módulo de este vector: $$|\vec{AB} \times \vec{v_r}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + 3^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$ Calculamos el módulo del vector director de la recta: $$|\vec{v_r}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el módulo de un vector $(x, y, z)$ es $\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(B, r) = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando o simplificando: $$d(B, r) = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$$ La distancia es $\sqrt{3} \approx 1.732$ unidades de longitud. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{d(B, r) = \sqrt{3} \text{ unidades}}$$