Invertibilidad y Producto de Matrices con Parámetros

**a) Los valores de $b$ para que cada una de las matrices $AB$ y $BA$ tenga inversa. (3 puntos)** Primero analizamos el producto $AB$. La matriz $A$ es de dimensiones $3 \times 2$ y la matriz $B$ es $2 \times 3$. Por tanto, el producto $M = AB$ será una matriz cuadrada de orden $3 \times 3$. Calculamos el producto $AB$: $$AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(-1)+2(-1) & 1(0)+2(b) & 1(2)+2(-1) \\ b(-1)+0(-1) & b(0)+0(b) & b(2)+0(-1) \\ -1(-1)+2(-1) & -1(0)+2(b) & -1(2)+2(-1) \end{pmatrix}$$ $$AB = \begin{pmatrix} -3 & 2b & 0 \\ -b & 0 & 2b \\ -1 & 2b & -4 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $AB$ por la regla de Sarrus: $$\det(AB) = (-3)(0)(-4) + (2b)(2b)(-1) + (0)(-b)(2b) - [(-1)(0)(0) + (2b)(-b)(-4) + (-3)(2b)(2b)]$$ $$\det(AB) = 0 - 4b^2 + 0 - [0 + 8b^2 - 12b^2] = -4b^2 - (-4b^2) = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una matriz cuadrada $C_{n \times n}$ se obtiene como producto de dos matrices $X_{n \times m}$ e $Y_{m \times n}$ con $m < n$, el determinante de $C$ siempre es 0. Aquí $m=2$ y $n=3$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } AB \text{ no tiene inversa para ningún valor de } b, \text{ ya que } \det(AB)=0.}$$

Ahora analizamos el producto $BA$. La matriz $B$ es $2 \times 3$ y $A$ es $3 \times 2$. El producto $BA$ será una matriz cuadrada de orden $2 \times 2$. Calculamos $BA$: $$BA = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 2 \\ -1 & b & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1(1)+0(b)+2(-1) & -1(2)+0(0)+2(2) \\ -1(1)+b(b)+-1(-1) & -1(2)+b(0)+-1(2) \end{pmatrix}$$ $$BA = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ b^2 & -4 \end{pmatrix}$$ Para que $BA$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero: $$\det(BA) = (-3)(-4) - (2)(b^2) = 12 - 2b^2$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$12 - 2b^2 = 0 \implies 2b^2 = 12 \implies b^2 = 6 \implies b = \pm \sqrt{6}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } BA \text{ tiene inversa si } b \in \mathbb{R} \setminus \{-\sqrt{6}, \sqrt{6}\} }$$

**b) Los valores de $b$ para que la matriz $A^T A$ tenga inversa, siendo $A^T$ la matriz traspuesta de $A$. (3 puntos)** Primero, obtenemos la matriz traspuesta de $A$ intercambiando filas por columnas: $$A^T = \begin{pmatrix} 1 & b & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el producto $A^T A$, que será una matriz $2 \times 2$: $$A^T A = \begin{pmatrix} 1 & b & -1 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ b & 0 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(1)+b(b)+(-1)(-1) & 1(2)+b(0)+(-1)(2) \\ 2(1)+0(b)+2(-1) & 2(2)+0(0)+2(2) \end{pmatrix}$$ $$A^T A = \begin{pmatrix} 1+b^2+1 & 2+0-2 \\ 2+0-2 & 4+0+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b^2+2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El producto $A^T A$ siempre da como resultado una matriz simétrica.

La matriz $A^T A$ tiene inversa si su determinante es distinto de cero: $$\det(A^T A) = (b^2+2)(8) - (0)(0) = 8b^2 + 16$$ Analizamos la ecuación $8b^2 + 16 = 0$: $$8b^2 + 16 = 0 \implies 8b^2 = -16 \implies b^2 = -2$$ Como $b$ es un parámetro real, $b^2$ no puede ser negativo ($b^2 \ge 0$). Por tanto, $b^2+2$ es siempre mayor o igual que 2, lo que implica que el determinante es siempre positivo ($8b^2+16 \ge 16$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz } A^T A \text{ tiene inversa para cualquier valor de } b \in \mathbb{R}}$$

**c) La inversa de $A^T A$, cuando dicha inversa exista. (4 puntos)** Como hemos visto en el apartado anterior, la inversa existe para todo $b \in \mathbb{R}$. Tenemos la matriz: $$M = A^T A = \begin{pmatrix} b^2+2 & 0 \\ 0 & 8 \end{pmatrix}$$ Al ser una matriz diagonal, su inversa se calcula simplemente invirtiendo los elementos de la diagonal principal. No obstante, aplicaremos el método de la matriz adjunta para detallar el proceso: 1. Calculamos el determinante: $\det(M) = 8(b^2+2)$. 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(M)$: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & b^2+2 \end{pmatrix}$$ 3. Traspuesta de la matriz de adjuntos: $(\text{Adj}(M))^T = \text{Adj}(M)$ (al ser diagonal). 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\begin{pmatrix} 1/a & 0 \\ 0 & 1/d \end{pmatrix}$ siempre que $a, d \ne 0$. Calculamos la inversa: $$(A^T A)^{-1} = \frac{1}{\det(M)} (\text{Adj}(M))^T = \frac{1}{8(b^2+2)} \begin{pmatrix} 8 & 0 \\ 0 & b^2+2 \end{pmatrix}$$ $$(A^T A)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{8}{8(b^2+2)} & 0 \\ 0 & \frac{b^2+2}{8(b^2+2)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{b^2+2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{8} \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(A^T A)^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{b^2+2} & 0 \\ 0 & \dfrac{1}{8} \end{pmatrix}}$$