Estudio de función racional: asíntotas, integración y áreas

**a) El dominio y las asíntotas de la función $f$. (3 puntos)** La función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2(x-1)}$ es una función racional. Su dominio está formado por todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos $x^2(x-1) = 0$: 1. $x^2 = 0 \implies x = 0$ 2. $x - 1 = 0 \implies x = 1$ 💡 **Tip:** El dominio de una función racional son todos los reales menos las raíces del denominador. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

Las asíntotas verticales (AV) suelen encontrarse en los puntos que no pertenecen al dominio. Analizamos los límites laterales en $x=0$ y $x=1$: **Para $x=0$:** $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2+1}{x^2(x-1)} = \frac{0^2+1}{0^2(0-1)} = \frac{1}{0 \cdot (-1)} = \frac{1}{0^-} = -\infty$$ Como el límite es infinito, **$x=0$ es una asíntota vertical**. **Para $x=1$:** Analizamos los límites laterales: $$\lim_{x \to 1^-} \frac{x^2+1}{x^2(x-1)} = \frac{1^2+1}{1^2(1^--1)} = \frac{2}{1 \cdot 0^-} = -\infty$$ $$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^2+1}{x^2(x-1)} = \frac{1^2+1}{1^2(1^+-1)} = \frac{2}{1 \cdot 0^+} = +\infty$$ Al ser los límites infinitos, **$x=1$ es una asíntota vertical**. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x=0, \quad x=1}$$

**Asíntota Horizontal (AH):** Calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2+1}{x^3-x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2}{x^3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$$ Como el límite es una constante real, existe una asíntota horizontal. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y=0}$$ **Asíntota Oblicua (AO):** Como existe asíntota horizontal cuando $x \to \infty$, **no existe asíntota oblicua** en esa dirección. 💡 **Tip:** En funciones racionales, si el grado del numerador es menor que el del denominador, la asíntota horizontal es siempre $y=0$.

**b) La integral $\int f(x) dx$, así como la primitiva de $f$ cuya gráfica pasa por el punto (2, 0). (3+1 puntos)** Para integrar la función racional, descomponemos en fracciones simples ya que el grado del numerador ($2$) es menor que el del denominador ($3$): $$\frac{x^2+1}{x^2(x-1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1}$$ Multiplicamos por el denominador común $x^2(x-1)$: $$x^2+1 = Ax(x-1) + B(x-1) + Cx^2$$ Calculamos los coeficientes dando valores a $x$: - Si $x=0$: $1 = B(-1) \implies \mathbf{B = -1}$ - Si $x=1$: $1^2+1 = C(1)^2 \implies \mathbf{C = 2}$ - Si $x=-1$: $(-1)^2+1 = A(-1)(-2) + B(-2) + C(1) \implies 2 = 2A - 2(-1) + 2 \implies 2 = 2A + 4 \implies \mathbf{A = -1}$

Sustituimos los coeficientes hallados en la integral: $$\int \frac{x^2+1}{x^2(x-1)} dx = \int \left( \frac{-1}{x} + \frac{-1}{x^2} + \frac{2}{x-1} \right) dx$$ Integramos cada término por separado: 1. $\int \frac{-1}{x} dx = -\ln|x|$ 2. $\int -x^{-2} dx = -\frac{x^{-1}}{-1} = \frac{1}{x}$ 3. $\int \frac{2}{x-1} dx = 2\ln|x-1|$ Sumamos la constante de integración $K$: $$\int f(x) dx = -\ln|x| + \frac{1}{x} + 2\ln|x-1| + K$$ ✅ **Resultado (Integral indefinida):** $$\boxed{F(x) = 2\ln|x-1| - \ln|x| + \frac{1}{x} + K}$$

Buscamos la primitiva que pasa por el punto $(2, 0)$, es decir, $F(2) = 0$: $$F(2) = 2\ln|2-1| - \ln|2| + \frac{1}{2} + K = 0$$ $$2\ln(1) - \ln(2) + \frac{1}{2} + K = 0$$ $$0 - \ln 2 + \frac{1}{2} + K = 0 \implies K = \ln 2 - \frac{1}{2}$$ La primitiva buscada es: $$F(x) = 2\ln|x-1| - \ln|x| + \frac{1}{x} + \ln 2 - \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = \ln\left(\frac{(x-1)^2}{x}\right) + \frac{1}{x} + \ln 2 - \frac{1}{2}}$$

**c) El área de la región limitada por la curva $y = f(x)$ y las rectas $y = 0$, $x = 2$, $x = 4$. (3 puntos)** Primero comprobamos si la función $f(x)$ corta al eje $X$ ($y=0$) en el intervalo $[2, 4]$. $x^2+1 = 0$ no tiene raíces reales, por lo que no hay puntos de corte. Además, para $x \in [2, 4]$, el numerador $x^2+1 \gt 0$ y el denominador $x^2(x-1) \gt 0$, por lo que $f(x) \gt 0$ en todo el intervalo. El área es la integral definida entre 2 y 4: $$\text{Área} = \int_{2}^{4} f(x) dx = \left[ F(x) \right]_{2}^{4} = F(4) - F(2)$$ Como ya tenemos la primitiva $F(x)$ tal que $F(2)=0$, el área coincide con $F(4)$: $$\text{Área} = F(4) = \ln\left(\frac{(4-1)^2}{4}\right) + \frac{1}{4} + \ln 2 - \frac{1}{2}$$ $$\text{Área} = \ln\left(\frac{9}{4}\right) + \ln 2 - \frac{1}{4} = \ln 9 - \ln 4 + \ln 2 - \frac{1}{4}$$ $$\text{Área} = \ln 9 - 2\ln 2 + \ln 2 - \frac{1}{4} = \ln 9 - \ln 2 - \frac{1}{4} = \ln\left(\frac{9}{2}\right) - 0.25$$ 💡 **Tip:** Aplicamos la Regla de Barrow: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$. ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \ln\left(\frac{9}{2}\right) - \frac{1}{4} \approx 1.254 \text{ u}^2}$$

A continuación se muestra la gráfica de la función $f(x) = \frac{x^2+1}{x^2(x-1)}$ y el área calculada en el intervalo $[2, 4]$.