Rectas y planos en el espacio. Paralelismo y distancias

**a) El valor de $\alpha$ para que la recta que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$. (3 puntos)** Para que la recta $s$ que pasa por $P$ y $Q$ sea paralela a $r$, sus vectores directores deben ser proporcionales. Primero, obtenemos el vector director de la recta $r$, $\vec{v}_r$, a partir de su ecuación continua: $$r: \frac{x-1}{1} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{-1} \implies \vec{v}_r = (1, 1, -1)$$ Calculamos ahora el vector director de la recta $s$, $\vec{v}_s$, que viene dado por el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{v}_s = \vec{PQ} = Q - P = (2-1, 1-0, \alpha-0) = (1, 1, \alpha)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada en forma continua $\frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c}$ es $(a, b, c)$.

Para que $s \parallel r$, los vectores $(1, 1, \alpha)$ y $(1, 1, -1)$ deben ser proporcionales: $$\frac{1}{1} = \frac{1}{1} = \frac{\alpha}{-1}$$ De la igualdad $1 = \frac{\alpha}{-1}$, obtenemos: $$\alpha = -1$$ Como los puntos $P$ y $Q$ no pertenecen a $r$ (podemos comprobar que $P(1,0,0)$ no cumple la ecuación de $r$: $\frac{1-1}{1} \neq \frac{0+1}{1}$), las rectas son paralelas y no coincidentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = -1}$$

**b) La ecuación del plano que contiene a $P$ y $Q$ y es paralelo a $r$, cuando $\alpha = 1$. (3 puntos)** Si $\alpha = 1$, el punto $Q$ es $(2, 1, 1)$. El plano $\pi$ que buscamos debe: 1. Contener al punto $P(1, 0, 0)$. 2. Contener al vector $\vec{PQ} = (2-1, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$. 3. Ser paralelo a $r$, por lo que debe contener (o ser paralelo) al vector director de $r$, $\vec{v}_r = (1, 1, -1)$. Por tanto, el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$ se obtiene mediante el producto vectorial de $\vec{PQ}$ y $\vec{v}_r$.

Calculamos el producto vectorial: $$\vec{n}_\pi = \vec{PQ} \times \vec{v}_r = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{n}_\pi = \vec{i}(-1) + \vec{j}(1) + \vec{k}(1) - [\vec{k}(1) + \vec{i}(1) + \vec{j}(-1)]$$ $$\vec{n}_\pi = -\vec{i} + \vec{j} + \vec{k} - \vec{k} - \vec{i} + \vec{j} = -2\vec{i} + 2\vec{j} + 0\vec{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (-2, 2, 0)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n}' = (1, -1, 0)$. 💡 **Tip:** Si un plano es paralelo a dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, su vector normal es $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$.

La ecuación del plano es de la forma $1x - 1y + 0z + D = 0$, es decir, $x - y + D = 0$. Como el plano contiene al punto $P(1, 0, 0)$: $$1 - 0 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y - 1 = 0}$$

**c) La distancia del punto $Q$ al plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$, cuando $\alpha = 1$. (4 puntos)** Sea $\sigma$ el plano que pasa por $P(1, 0, 0)$ y es perpendicular a $r$. Si $\sigma \perp r$, el vector normal del plano $\vec{n}_\sigma$ coincide con el vector director de la recta $r$: $$\vec{n}_\sigma = \vec{v}_r = (1, 1, -1)$$ La ecuación del plano $\sigma$ es: $$1(x - 1) + 1(y - 0) - 1(z - 0) = 0$$ $$x + y - z - 1 = 0$$

Queremos hallar la distancia del punto $Q(2, 1, 1)$ al plano $\sigma: x + y - z - 1 = 0$. Usamos la fórmula de la distancia de un punto $(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$: $$d(Q, \sigma) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ Sustituimos los valores: $$d(Q, \sigma) = \frac{|1\cdot 2 + 1\cdot 1 - 1\cdot 1 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 1 - 1 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ Racionalizando el resultado: $$d(Q, \sigma) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 \text{ u}$$ 💡 **Tip:** No olvides el valor absoluto en el numerador, la distancia siempre debe ser un valor positivo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(Q, \sigma) = \frac{\sqrt{3}}{3} \text{ unidades de longitud}}$$